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【奧數揭秘】質因數連乘式

2017-11-29

在中小學的階段,都會接觸過質因數連乘式,即是把正整數展開成質因數的乘積,比如24=23×3。初學時會覺得把簡簡單單的一個正整數,展開到那洩曭漱@條算式,是有點多此一舉,或許也會質疑為什洎n這樣做。而事實上,質因數連乘式可以幫助我們了解這個正整數的因數方面的資訊,例如:該正整數的所有因數、有多少個因數、因數之和等等。

以24為例,若是按小學的方法找因數,就要列出24=1×24=2×12=3×8=4×6,數字小的時候還容易的,到數字大了,用類似的方法,由小至大試起來,挺困難的。若是用質因數連乘式就不同了,先知道1是因數,然後21、22、23、31、21×31、22×31、23×31都是因數,看荈陽ЖN知道規律是挺明顯的,即使數字再大,也會有個有系統的方法,可以順茪@個一個地找出因數來。

為了方便之後的討論,須知道1=20=30,普遍來說,對於非零的實數a,有a0=1。

因數即相乘2及3幾次方

由以上的討論看,24就是有8個因數了,那洎n求出這個8,有沒有捷徑呢?有的。留意24=23×3當中,2和3的指數分別是3和1,將兩個指數加1然後相乘,得(3+1)×(1+1)=8,就是因數的個數。

為什炯o樣,不妨看看上一段怎樣找因數。由於所有因數不外乎是2的次方和3的次方相乘,因此,2的次方有0、1、2、3共4個選擇,3的次方有0和1兩個選擇,因此共有4×2=8個因數。

那泵]數之和又是怎樣呢?就是(1+2+22+23)×(1+3)=60。左方的算式就是先把24的質因數2,由0次方、1次方、2次方、3次方地加起來,質因數3也是這樣,然後相乘,最後所得的積就是因數的總和。為什炯o樣就是因數的和呢?因為所有因數說到底就是把2的幾次方和3的幾次方相乘,而(1+2+22+23)和相乘之後,展開之後,會得到了所有2的幾次方和3的幾次方的所有配搭。即1+2+22+23+3+2×3+22×3+23×3。因此總和就是所有因數之和。

以下試試練習一下看看。

問 題

試找出60的因數個數以及其因數之和。

答 案

60=22×3×5,(2+1)×(1+1)×(1+1)=3×2×2=12。因此共有12個因數。

(1+2+22)×(1+3)×(1+5)=168,因此因數之和為168。

以上就是質因數連乘式的一些用處,而且還只是一小部分而已。當中求因數個數及因數之和之類的,課內比較少提及,多是奧數訓練才會學到。數學上這些都是初等數論的內容,奧數範圍內是數論方面的一些基本知識。

質因數連乘式對於正整數的分解方式是唯一的,即是對於每個正整數,分解出來後,表達方式只有一種。唯一分解的概念在數學裡是常見的,比如多項式的因式分解之類。對較為簡單的正整數的質因數唯一分解多了認識,然後學習其他唯一分解的知識時,也多了聯想和類比,學起來就容易多了。 ■張志基

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