小學時學倍數的概念，久不久會問起一些類似「100或以內有多少個3的倍數」的問題。答案也不複雜，就是100÷3=33...1，有33個3的倍數。或者改改數字，問一問「100以內又有多少個4的倍數」，那也很容易，就是100÷4=25，有25個4的倍數。
那麽，若是問有多少個3或4的倍數呢？是不是33+25=58？這倒是錯了，因為當中兩數的倍數有重複的部分，3和4的公倍數，會被算了兩次。3和4的公倍數，也就是最小公倍數12的倍數，共有100÷12=8...4，共有8個。因此答案是33+25-8=50個。這些兩堆數目有相交的情況，可用圖來表示，如下圖。
最後的算式，簡言之就是把3的倍數的數量和4的倍數的數量，相加後減去重疊部分。這個各部分相加，然後減去重疊部分的想法，可以一直推廣下去的。
問 題
100或以下的正整數中，有多少個數能被3、4或5整除？
答 案
以上已提過3的倍數有33個，4的倍數有25個，兩者重疊部分有8個。另外還可算出：
5的倍數有100÷5=20個。
3和5的倍數，由100÷15=6...10可算出有6個。
4和5的倍數，由100÷20=5可算出有5個。
而同時是3、4和5的倍數只有1個（即3、4和5的最小公倍數60）。
見着算式是有點複雜，看右圖就簡單了。
自從有了之前的經驗，就知道3、4和5的倍數的數量各自相加時，會把重疊部分算多了，因此要減去兩個兩個重疊的部分，但這樣最小公倍數60會先被數了3次，然後做減法時又被刪去了3次，剛好沒算。因此最後要補回。算式來說就是33+25+20-8-5-6+1=60。因此在100或以內的正整數中，3、4或5的倍數，共有60個。
組合數學概率常用
開始時只考慮3和4的倍數的數量，總數只需要各部分加起來，減去重疊部分就可以了。只是略為推理一下，多考慮5的倍數的數量，總數就不單是各部分相加，也不只是減去兩兩重疊的部分，還要補回中間的。這裡又加又減的，好像挺複雜，若是考慮的除數再多，怎樣做下去呢？
其實說穿了也不難記着，就是各部分相加之後，兩個兩個重疊的就要減去，3個3個重疊的就加上，4個4個重疊的就減去，加減相間地算着就行了。這個就是數學上的容斥原理。
要留意上述各部分的數量相加減，最後算出總數的想法，並不止在於求幾多個倍數的問題，而是一般地可解決各種類的數量，有相交的情況下，要算出總數的問題。比較生活化的問題，比如是班裡有10人戴眼鏡，7人戴手錶，兩者都戴的有3人，那麽戴其中一樣的就有10+7-3=14人。普遍來說，在數學裡的組合數學和概率之中，就經常都會用到。
容斥原理這回事，若是看數學書，不時都會遇到一大堆的集合符號，中小學生看着時剛搞懂了符號，就已經一頭霧水了，迷迷惘惘的也明白不了什麽道理出來，但其實明白了背後的原理就變得簡單了。 ■張志基
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