平日在學校做數學功課和小測的時候，有時會計入考試分，比如佔考試分的10%，而考試的時候，多項選擇題就佔30%，長題目就佔60%，這樣三部分綜合起來，就是最終的考試分。為了討論方便，把各部分的總分都設為100分。問題是，若果有三個學生，甲同學三部分分別得分是70，50和60；乙同學得分是50，60和70；丙同學得分是70，60和50，三人的分數大小都是50，60和70三個數，只是次序不同，那麽誰人的得分最多，誰人得分最少？
算出來當然是容易的，就是未算出來，大概也會覺得，當然是比重較大的部分得分高一點，總分會較多。相反，若是高分的部分都在比重少的地方，得分就愈少。而事實上，
50×10%+60×30%+70×60%
?70×10%+50×30%+60×60%
?70×10%+60×30%+50×60%
數學上的排序不等式，大概就是說明這回事。
排序不等式：設有兩個有序數組，a1?a2?...?an及b1?b2?...?bn，則
a1b1+a2b2+...+anbn
?a1bj1+a2bj2+...+anbjn
?a1bn+a2bn-1+...+anb1
其中j1, j2, ..., jn是1, 2, ..., n的任一排列。不等式等號當且僅當a1=a2=...=an及b1=b2=...=bn時成立。
數學符號和術語看起來還真夠嚇人的。其實簡單來說，就是兩組數分別由小至大排列起來，然後較小的乘以較小的，之後乘積總和就是最大的。若是其中一組數的次序亂了，總和就小一點。要是一組由小至大，另一組倒過來，由大至小，那麼逐項相乘時總和就是最小的。有個簡單的記法，就是
順序和?亂序和?逆序和
這個不等式的證明在網上也不難找到，就不費篇幅說明了。這一道不等式，在奧數中是要懂的，也不在平常的課程之內，用起來技巧也不少。
問 題
設a1,a2,...,an為各不相同的正整數。求證：
[1+] [1][2][+] [1][3][+...+] [1][n][?a1][+] [a2][22][+] [a3][32][+...+] [an][n2]
答 案
留意到[1＞] [1][22] [1][32][＞][＞...＞] [1][n2]，而a1,a2,...,an沒分次序，不難聯想起亂序和，因此考慮把a1,a2,...,an由小至大重新排列，稱為b1,b2,...,bn，那麼
[a1+] [a2][22] [a3][32][+][+...+] [an][n2][?][b1+] [b2][22] [b3][32][+][+...+] [bn][n2]
然後由於重新排列之後，b1,b2,...,bn仍是彼此不同，因此有b1?1,b2?2,...,bn?n
從而有[b1+] [b2][22] [b3][32][+][+...+] [bn][n2][?][1+] [2][22] [3][32][+][+...+] [n][n2]
[?][1+] [1][2] [1][3][+][+...+] [1][n]
因此原式得證。
題目難度適中 培養學生自信
這道不等式的好處是一方面直觀上合理，而數理上亦正確，基本上聽過一次，就會記住了，很易記。就是證明未看過，結果總是會記得的。奧數之中有些不等式是傳統上都要記得的，排列不等式是其中一條，另外還有柯西不等式和平均不等式，也是要熟記的。
事實上，熟記了不等式，多少懂得應用，但距離競賽的要求還是很遠的。競賽裡的不等式，不時都要把未知數做代數變形，又有添項拆項之類。加上不等式還可以有一些比起等式遠為複雜的變化，比如當x?3時，3x2?6x+3，這句單獨來看是不難證明的，只是若果在證明另一些不等式中，要插入這一句才能夠完成，或者連這一句也根本看不到，那又是難得很。等式就不同了，3x2本身即使做了代數變形，化簡後仍是一樣的，不會變到面目全非。
不等式在奧數之中是很有魅力的課題，因為通常答案是很漂亮的，若是用對了方法，繁複的計算中一下子就變成了簡單的結論。也由於難度高，做得到的成功感也很大。這也是不等式有趣的地方之一。
■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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