奧數除了是一些較難的題目，有時也會有一些特別的解難技巧，令到一些問題可以有另一角度的理解。以下分享的這一道題目，若是有中四或以上關於三角函數的知識，是很容易解決的。不過這裡嘗試用構造圖形的方法，去了解這個結果。
問 題
設0o＜θ＜90o，求證：1＜sinθ+cosθ⩽ [2]。
答 案
如圖一，構造一個1×1的正方形，並作一個半徑為1的扇形OAC。S是AC弧上的移動點，T在OA之上，θ=∠SOT。作ST垂直OA，得ST=sinθ和OT=cosθ。考慮△OST之中的三角不等式，得sinθ+cosθ＞1。
然後證明右方的不等式。如圖二，把圖一中的TA延長至U點，使得TU=TS=sinθ。於是OU=sinθ+cosθ。之後嘗試證明OU不大於 [2]。
留意到在S沿着弧長AC移動的時候，∠SUT保持不變為45o。若要OU為最大，則S要移動到SU與弧長AC相切的那一點S’，對應的U點稱為U’（如圖三）。
這時候△OS’U’為等腰直角三角形，OU’= [12+12][=] [2]。
因此sinθ+cosθ⩽ [2]。
綜合以上所述，得1＜sinθ+cosθ⩽ [2]。
圖像說明數學結果
剛才的解題之中，文字其實只是輔助的性質，主要的重點是在圖的構造上。第一步是構造出包含sinθ，cosθ和1的三角形，然後用三角不等式證明原來不等式的左方。第二步是構造出長度為sinθ+cosθ的直線OU，並在S移動時，SU斜率不變之下，看到OU最長時，SU與弧AC相切，從而得到不等式的右方。
這個構造圖形的方法，好處是它提供了探索等式或不等式的另一角度。它不只是在代數和函數運算之中左穿右插，而是跳出了原來的算式，憑着創意去構造一個解釋來。這個構造出來的解釋，普遍不是唯一的。在知識基礎愈來愈厚之下，可以構造出不同的圖，去了解同一個結果。
這裡有個極大的想像空間，去令到不同的數學結果之間，找到連繫，從而加深了記憶和對數學的理解。
數學上有所謂無字證明（Proof without words），就是用圖像去說明一個數學結果，而當中沒有文字。通常都是用構造特例的方法，去說明結果之所以正確的關鍵處。當然，若是要求嚴格的話，用文字寫得精確無誤是重要的，但由圖像去直觀洞察出當中的精要，亦有一種優雅的美感。若是在網上搜尋「無字證明」相關的字眼，就會看到許多優美的結果。
課程內的數學，有時為了令學生打穩基礎，往往有一大堆類似的題型。學生做多了，容易會覺得數學就是死板的，缺乏想像力。
事實上，通過構造圖形的訓練，就可以發揮學生的想像力，見到數學裡有創意的一面。而這種想像，亦不像繪畫塗鴉一般的只有創作的趣味，而是在創作之中亦保持到幾何的規律，在想像之中不離現實，而且又可加強對現實的了解。
學生在奧數的訓練之中，有時是在解決難題中得到發展，有時是因為見識了一些處理問題的方式，令到他們在觀察同一道算式的時候，比起其他專注課內數學的學生，有多一些新穎的想法，這也是學習奧數的好處之一。 ■作者：張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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