筆者在這專欄上寫了一段日子，一直以來希望做到的，是讓讀者能在一些較淺近的奧數題之中，見到一些奧數與課程內的數學的分別。有時也會問自己，那些題目會不會過淺？事實上，奧數可以很深很複雜，一個課程內讀得好的學生，隨便在書局找本中學奧數書，一打開，感覺可能就是自己永遠也不會弄得懂。
談起奧數，難題易找，怎樣說得別人明白，才是最難。能夠按着學生的程度，給予適當難度的挑戰，才是數學教育的關鍵。
這次分享一題國際數學奧林匹克（IMO）的題目。這個層次的題目是4.5小時內做3題，也就是平均1.5小時做1題。
一般在技巧上，大眾難以理解，但這一題只用到了課程內中四的配方法和中二的恒等式，較為簡單，因此值得分享。然後略談奧數的源流和意義。
問 題
證明：存在無窮多個自然數a，使得數z=n4+a對於任意自然數n均為合成數。
答 案
設a=4k4，其中k為大於1的自然數。那麽
z=n4+4k4
=(n2)2+2．n2．2k2+(2k2)2-4n2k2
=(n2+2k2)2-(2nk)2
=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)
由於z能寫成兩個數相乘，只需要證明這兩個數都大於1，z就是合成數。事實上n和k都是自然數，n2+2k2+2nk必大於1，而n2+2k2-2nk=(n-k)2+k2＞1，因此z是合成數。
這樣只需要取不同的k，就有不同的a=4k4，滿足條件。因此有無窮多個自然數a，使z=n4+a對任意自然數n均為合成數。
累積比賽經驗 鍛煉解難毅力
這一道是1969年的題目，比賽地點是羅馬尼亞，剛好亦是1959年第一屆國際數學奧林匹克（IMO）舉辦的地方，之後差不多每一年都舉辦，是數學競賽中的盛事。早前2016年的國際數學奧林匹克在香港舉辦，受到大眾關注。
奧林匹克數學，簡稱奧數，一般泛指數學競賽。內容本身沒什麽正式的規定，但傳統上主要為數論、組合數學、數列、不等式、函數方程和幾何等，普遍不涉及微積分。在奧數學習的過程中，主要是解難的訓練，要求學生有較高程度的洞察力和創造力。有別於課程內常規的題目，奧數是非常規題目佔大多數。
近20多年來，香港逐漸多了各式各樣的數學競賽，程度各有不同，有些是個人賽，有些有團體合作的部分。坊間的比賽雖然多，但相對而言，奧數培訓的機構就少了。
香港數學奧林匹克學校由1995年成立起，培育數學尖子多年，學生之中亦有一些後來成為了國際數學奧林匹克的香港代表。也有些成為教練，或在大學任教，繼續栽培學生研習數學。
學生時代，由一個課程內的尖子，到成為學界精英，當中的路很漫長。若是缺乏一些有經驗的老師帶領，往往會不得其門而入。這條路上很需要一個有系統的課程，各個層次的評核，各式各樣的比賽，去令學生在成長中得到肯定和累積比賽經驗。
奧數培訓的意義，並不止於在比賽中得到獎項，更在於開拓學生的眼界，鍛煉解難的毅力，促進他們之間的交流；亦可以鞏固課內數學的基礎。在奧數上有一定能力的學生，常會感到課內的數學輕而易舉。這是學奧數的一大好處。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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