初中學了幾年幾何，定理學了一大堆。「全等三角形」這個課題，大概是中一的內容，不少同學很早就懂，大概以為問題都很簡單，覺得是入門知識。若有天想開闊眼界，見識一下奧數程度的幾何題，或會有另一番體會。
問 題
在正方形ABCD中（圖一），M是AB的中點，MN⊥MD，∠CBN=45o。求證：DM=MN。
答 案
如圖二，在AD上取中點P，△MAP為等腰直角三角形，因此∠MPA=45O。
之後嘗試證明△MDP和△NMB全等，
由P和M皆為中點，得DP=MB。
考慮直線上的鄰角，得∠DPM=180O-45O=135O=90O+45O=∠MBN。
留意△ADM及M點周圍的直線上的鄰角，得∠PDM=180O-90O-∠DMA=∠NMB。
這樣就證實了△MDP和△NMB全等，△MDP?△NMB（ASA）。
由於MD和NM是上述全等三角形的相應邊，因此DM=MN。
自律沉實煉邏輯能力
這題在奧數的幾何問題上，算是較淺的，但仍可以見到解幾何題的難處。第一個問題是，要證明兩條線一樣長，不一定想到是用全等三角形的，尤其學的定理越多，好像懂得越多，但也由於多了選擇，未必選對合適的路徑。當然不這樣做也可能有別樣的解法，但知識多了反而找不對路徑，也是解幾何題目常見的難處。
第二個問題是，想起全等三角形，也未必是在圖形上已有的，可能要加輔助線，也可能不用，這個不是試過，也很難預知可不可行。
第三個問題是，有時圖形上即使有些三角形是全等的，連輔助線也不用加，但不代表自己就能留意到，因為圖形上只需要有七八條線，可能已經有不少三角形在其中，即使有兩個全等，不代表就一定留意到。
答案裡可以這麽快就解完了，是因為直接在添加輔助線之後直下就指出了哪一對三角形全等，然後就加以證明。只是真自行解出來時，這一步想不出來，就已經行不下去。
要留意的是，這題還只是用了中一左右的幾何知識而已，若是圖形中還滲透了其他的知識，圖形再複雜一點，難度不止多了一點點。
中學時期，幾何能力要達到奧數水平，要很用心。事實上，即使是課程內的幾何題，要練到可以寫出一個邏輯通順的證明，已經須花一番功夫。同時，學習時，由於每題都可能要做十行八行，即使平日練習時有點漏洞，由於習題太多，老師就算很用心教學，也難以時刻幫自己找到錯誤。
因此自己要自律而沉實地煉好邏輯的能力，才可以在幾何上有較好的表現。就是邏輯能力都練好了，去到奧數水平，就會發現幾何能力不止是邏輯推論那回事，邏輯只是基礎而已，解難中還有些直覺的成分，有時也的確有運氣的成分。
說了很多難處，而事實上，也由於這點難處，使得奧數中的幾何題，值得見識。若缺乏這點見識，中學讀完了，應付得了課程內的幾何，很容易覺得幾何題目不外如是。難題使人謙卑，令人早日知道自己仍有發展空間，這個在學習上很重要。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
逢星期三見報