奧數題裡有些問題看來很簡單的，但仔細做起來，思考過程卻充滿驚奇。這次分享的是一道不定方程。
問 題
a，b，c是三個自然數，滿足a+b+c=abc，求出所有的自然數解。
答 案
設a≤b≤c，
若ab>c，則abc>3c，於是a+b>2C，與a≤b≤c矛盾。
若ab=c，由a≤b，得a=1，b=3，因此4+c=3c，得c=2 若ab<3，則ab≤2。若a=b=1，則2+c=c，無解。
因此只有a=1，b=2和c=3。
普遍來說，就是{a,b,c}={1,2,3}。
回顧這道題目的解法，簡言之就是先排序，再分類，然後在各種矛盾中，找到最終只有一組的答案。
在解題的步驟裡，用到的數學知識很少，題目的形式也很簡單、很短，只是在推論之中，又會發現到這麽簡單的條件中，原來已經局限了答案只有一組。
奧數的題目裡，有一堆題目只是簡單一道算式，一道不定方程，若是看了答案，會發覺答案裡需要的知識毫不複雜，只是當中的做法，就難以知道為什麽要這樣轉彎。
例如上文的題解，a和b是合在一起看的，不是用a或b多少來分類，而是用ab來分類。另外，分類起來，當中用了3作為分類的那一點。這兩件事仔細想來，就知道並不是隨意選擇，都可以推論得那麼順利和簡潔。
個人的看法是，由開始時等式的條件中，自然數的乘積，一般都會比它的和大得多，因此若是有解，整體來說不會太大。在分類的時候，若將ab的數值做分類，而數值不太大的話，列舉出a和b兩數的時候，情況也不多，解起來也比較容易。至於為什麼用3來分類，那可能是因為做起來的時候，其實原本未必剛好用得那麼準，可能是用4或5，只是解出來之後，發覺解題的關鍵無須要那麼大的數，那表達時用3作分類就剛好了。
剛才的這一段，是一個看到答案之後，對解題策略的理解。在奧數裡，解題策略往往不是一板一眼的，可能有固定步驟，但通常都只是一個大致的方向，看到什麼情景，大致上怎樣會簡單一點、表達上容易一點、分類上簡潔一點，就先試試看，而不是未解之時，就已經全盤知道下一步要怎樣。
有時候完成解題，就知道真正的策略要怎樣，有時做了很久也沒答案，在理解答案的過程中，亦要進一步嘗試理解那個策略是怎樣想出來。
這當然未必真正可以知道解題人的原意，但這是學習上的重要部分。
這點反省跟事後孔明是不同的，要誠實不欺地反省，明白什麼想法之後會有用，長遠才可以有進步，相反，抱着自欺欺人的想法事後孔明，是不會有進步的。
原本看來簡單的問題，而基礎知識也不多的，對策略的反省，在學習中很重要。策略並不是公式，是有模糊的性質，並不是每一步驟都清晰可見的。懂得配合模糊的策略，和嚴格的推論，是處理難題的重要基礎。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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