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【奧數揭秘】質數

2018-11-21

在學習數學的過程中,很早就接觸到質數的概念,也就是因數只有1和數字本身的數,例如2、3、5及7等。這些質數的分佈很奇特,好像沒什炯W律,於是也有人問起,質數有沒有公式這回事。

這是自古以來的難題了,也有無數人探索過,還未解決。不過在探索的過程中,有一點相關的小發現,在初等的數學來說是理解得了的。

例如有些算式,當未知數代入不同數字時,質數是會特別多。好像n2+n+17,看來平平凡凡的算式,原來把n代入1至15,結果都是質數的。

當然,這一道算式的結果不會永遠都是質數來,較明顯的是當n是17的倍數,也就沒可能是質數的。

不過,另外還有一些較不明顯的因數,也會出現在一些特殊形式的n之中。

問 題

證明當n為正整數時,n2+n+17之中有無窮多個19的倍數。

答 案

考慮19k+1形式的數,其中k為整數,則(19k+1)2+(19k+1)+17=19(19k2+3k+1)。因此凡是形式如19k+1的正整數,都是19的倍數。

剛才的解法,若是用差不多的想法,也容易看出若n是17k-1的形式,則可看出(17k-1)2+(17k-1)+17=17(17k2-k+1),也就是最小來說,n到了16,算式就必然是17的倍數了,這也是較不明顯的。

有沒有其他類似的算式,也是有很多質數的呢?有的,比如n2+n+41,這個更厲害,當n是1至39,都還是質數,這還真不易猜到。

再進一步問,會不會n2+n+a的形式之中,若a是質數,n2+n+a就會有很多質數呢?這個又沒那麼簡單,比如n2+n+7,當n是1的時候已經不是了。但這個把a作為7的做法,不是太精明的想法,以下說明一下。

由算式n2+n+a來看,若n為1,則算式是a+2,若想是質數,第一步就要a+2是質數才行,因此a和a+2同樣是質數的話,這道算式才是較好的。

之前兩道算式中的17和41,加上2後是19和43,都是符合這樣的條件的。

不過,即使符合a和a+2都是質數的條件,例如n2+n+59,到了n是2的時候,算出來就是65,就不是質數了。這裡就看到17和41是有點特別,令算式中得到的質數是特別多。

剛才的討論,就只是就茪@道算式n2+n+17來推展和討論,做點推展和猜想,找找數字的特徵那樣,就已經看到一些較不明顯的結果。

這也是做數學的趣味。按茪@道算式n2+n+a,想想a是什炤|有許多質數,已經可以有些發現了,要是想想怎樣創作一道算式,令到當未知數為不同數值時,算式計出來會有很多質數,那又是會有更多發現了。

遇上困難的奧數,或者更難的數學題,怎樣找個相關的小問題,嘗試用自己有限的知識去探索一下,也是一種趣味,亦是一種解決問題的方向。

最終未必可以完整地解決得了,但過程中可以加深對問題的理解,找到更多線索,也提供了進一步嘗試的知識基礎。

奧數裡大部分問題都不是一看就懂得做,怎樣找一個小部分開始茪漶A懂得解決部分,也是很重要的。

■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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