在學習數學的過程中，很早就接觸到質數的概念，也就是因數只有1和數字本身的數，例如2、3、5及7等。這些質數的分佈很奇特，好像沒什麽規律，於是也有人問起，質數有沒有公式這回事。
這是自古以來的難題了，也有無數人探索過，還未解決。不過在探索的過程中，有一點相關的小發現，在初等的數學來說是理解得了的。
例如有些算式，當未知數代入不同數字時，質數是會特別多。好像n2+n+17，看來平平凡凡的算式，原來把n代入1至15，結果都是質數的。
當然，這一道算式的結果不會永遠都是質數來，較明顯的是當n是17的倍數，也就沒可能是質數的。
不過，另外還有一些較不明顯的因數，也會出現在一些特殊形式的n之中。
問 題
證明當n為正整數時，n2+n+17之中有無窮多個19的倍數。
答 案
考慮19k+1形式的數，其中k為整數，則(19k+1)2+(19k+1)+17=19(19k2+3k+1)。因此凡是形式如19k+1的正整數，都是19的倍數。
剛才的解法，若是用差不多的想法，也容易看出若n是17k-1的形式，則可看出(17k-1)2+(17k-1)+17=17(17k2-k+1)，也就是最小來說，n到了16，算式就必然是17的倍數了，這也是較不明顯的。
有沒有其他類似的算式，也是有很多質數的呢？有的，比如n2+n+41，這個更厲害，當n是1至39，都還是質數，這還真不易猜到。
再進一步問，會不會n2+n+a的形式之中，若a是質數，n2+n+a就會有很多質數呢？這個又沒那麼簡單，比如n2+n+7，當n是1的時候已經不是了。但這個把a作為7的做法，不是太精明的想法，以下說明一下。
由算式n2+n+a來看，若n為1，則算式是a+2，若想是質數，第一步就要a+2是質數才行，因此a和a+2同樣是質數的話，這道算式才是較好的。
之前兩道算式中的17和41，加上2後是19和43，都是符合這樣的條件的。
不過，即使符合a和a+2都是質數的條件，例如n2+n+59，到了n是2的時候，算出來就是65，就不是質數了。這裡就看到17和41是有點特別，令算式中得到的質數是特別多。
剛才的討論，就只是就着一道算式n2+n+17來推展和討論，做點推展和猜想，找找數字的特徵那樣，就已經看到一些較不明顯的結果。
這也是做數學的趣味。按着一道算式n2+n+a，想想a是什麽會有許多質數，已經可以有些發現了，要是想想怎樣創作一道算式，令到當未知數為不同數值時，算式計出來會有很多質數，那又是會有更多發現了。
遇上困難的奧數，或者更難的數學題，怎樣找個相關的小問題，嘗試用自己有限的知識去探索一下，也是一種趣味，亦是一種解決問題的方向。
最終未必可以完整地解決得了，但過程中可以加深對問題的理解，找到更多線索，也提供了進一步嘗試的知識基礎。
奧數裡大部分問題都不是一看就懂得做，怎樣找一個小部分開始着手，懂得解決部分，也是很重要的。
■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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