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【奧數揭秘】矩形與圓形

2019-12-11

圓形和矩形,在中小學裡都是常見的圖形,在這些圖形重重疊疊之間,就可以作許多幾何題出來。以下是其中一條,用上了一些簡單的圓形特性,與矩形性質的題目。

問 題:矩形ABCD的邊AB經過圓O的圓心,E和F分別為邊AB、DC與圓O的交點。若AE = 3,AD = 4,FD = 5,求圓O的直徑。(圖一)

答 案:

如圖二,設半徑OF = OE = r。

作FG ⊥ OA,並考慮△OFG,

(r + 3 - 5)2 + 42 = r2

r2 - 4r + 4 + 16 = r2

r = 5

因此直徑是5 × 2 = 10。

題解中用到的只是畢氏定理,不過之前也要添加輔助線,才能夠把兩條半徑的關係串連起來,算是較為簡單。有些課內的題目,若教科書本身普遍題目是較難的,說不定題目也有這個程度。這題算是有點解難的趣味,若是學生喜歡較難的,改改數字或形狀,也可以看到更多的變化,能感到趣味就夠。

有時學生喜歡具挑戰性的題目,遇荅鈰鰲ㄔX難題的老師,就格外地喜歡,覺得老師特別好。這當然是一種好,只是老師也有很多種,有些在數學應用上比較擅長,有些在表達上比較擅長,有些性格比較親切,各有各的好。

在中小學階段,其實許多學生學奧數時,未必真的早已立定志向要做數學家,或者根本連之後會否在大學選數學系,也沒那麼早決定,所以未必真是愈早學大學數學就會覺得愈吸引。

有時學生可能只是模模糊糊地覺得特別喜歡數學,至於具體來說,究竟是喜歡那些邏輯嚴格而形式抽象的純數,還是喜歡應用在各情景裡的應用數學,還是喜歡一邊計數一邊動手做一件機械出來,就未必想到那麼仔細的。

學奧數就是會遇茼U種老師,有些背景上比較接近純數,有些興趣上會懂得其他科學,有些有工程師的背景,於是談起數學來,若果學生懂得發問的話,可以得到許多數學相關的其他知識。

學生看數學,未必一定看到純數學的角度,可能看到的是老師的教法也不錯,若果將來自己做教師,這樣教人也挺好。可能有次老師談起用數學來砌機械人,覺得能弄一件產品出來,比起用紙和筆計數更吸引,從而想做工程師。有時一些學生也沒思考得那麼遙遠,就只是想看多一點數學,對自己要求也不怎樣高,可能只需要一個夠親切平和的老師,談些略為有挑戰性的題目,已經足夠提升興趣了。

學生在成長中遇多些各樣背景的數學老師是好事,那樣會比較明白在讀數學的路上,還可以向哪個方向發展。同一樣的數學知識,在不同的老師講出來,因茼U自的背景不同,看的重點也是有分別的,能說出來的道理也可以有分別,能虛心地學習各種形式的數學,從中找到適合自己的方向,也是一個喜歡數學的人,在成長中必經的階段。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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