這次談一道初中的幾何題，求角與角之間的關係。
問 題：右圖中，設△ABC與△ADE的頂角A互成對頂角，
∠C和∠E的平分線相交於F。
求證：∠F = [1][2] (∠B + ∠D)。
答 案：以下為了表達簡潔些，把∠ACB和∠AED分別記為∠C和∠E。
由三角形的外角，得知
∠B + ∠C = ∠BAD = ∠D + ∠E，即∠BAD = [1][2] (∠B + ∠C + ∠D + ∠E)。
再由對頂角得∠CAE = ∠BAD。考慮四邊形FCAE的內角和，得知
360o - [1][2] (∠B + ∠C + ∠D + ∠E) + [∠C][2] + [∠E][2] + ∠F = 360o，化簡後得∠F = [1][2] (∠B + ∠D)。
解題的過程中，大致上的方向就是把反角CAE用B、C、D、E四隻角表示出來，由於題目裏有B和D，而C和E則是題目中有額外資料，所以方向上就是考慮四邊形FCAE的內角和，然後將命題相關的角和題目資料裏的角串連起來，最後得到結論。
題目裏要證明的相關命題，當中的角F、B和D，在圖上是分散的，要知道當中數量上的關係，需要懂得怎樣通過幾何的定理連繫起來。平常的幾何題來說，要知道幾個角之間的關係，可能推論未必能找到什麼線索，但算式寫出來，又跟要證明的算式相去甚遠。
解題過程中，筆者思考的時候，看到圖的左右是類似對稱的模樣，即是圖形左右反轉，討論起來也是一樣的，於是就想到用圖形中間的角度，把題目提到的幾個角連上關係。
另外，由於結論是有對稱的性質，即B和D對調也是的，所以過程中，算式也希望做到有對稱的性質，比如若果寫∠BAD= ∠D + ∠E，就好像沒了B和C，那樣推論起來，可能不太順利，於是就把∠BAD寫成[1][2] (∠B + ∠C + ∠D + ∠E)，那就在算式上保留了圖形左右對稱的性質，推論出來的算式也較容易有對稱的性質。
這些推論過程中的想法，都是憑經驗一下子聯想到幾個情況，然後就做下去的，初學時可能要把幾個選擇分別寫下來，比較一番，才發現哪個好。到了經驗夠了，一下子就選對了，事後回看才知道已經不自覺比較過幾個策略。
平常在這裏分享經驗的時候，好像一招一式地談着，可以分得開一個個方法那樣，或者是人們看書，也看到一個兩個三個方法，開始時可能會以為方法多了，遇着題目，按着例題或方法的想法來做，就會很順利。這個到底不是必然，解題沒那麼簡單的。
遇着一些方法，在累積和應用之中，除了自覺地使用之外，也有些潛移默化的效果。累積多了，有些題目做起來就較順利，想起來到想通了，也沒自覺，倒是要說起來時，才知道自己懂了那麼多事情。解幾何題的能力就是這樣成長。做多幾題，也不會有明顯的進步，只是累積得夠多了，有時加幾條輔助線，或者做一下幾何變換，或者算式換幾個形式，解到了，也未必說得出自己為什麼這樣想。這個就是經驗的累積，是有模糊的性質，沒那麼明確的。●張志基
■香港數學奧林匹克學校
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