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科學講堂:「方」裡尋根 「圓」來如此

2016-07-06

每年3月圓周率日 「上天下地」皆見芳蹤

我們生活的地球並非平面,飛機飛行的航線、物理的鐘擺現象、賽車迂迴的跑道等,所有牽涉到曲線、圓形、橢圓形、球體等形狀的物件,均需要以圓周率幫助計算。基本上,在天文、統計、科學及工程等範疇,我們會常碰到有圓周率的公式。

公元前200年現「多邊形估算法」

圓周率是圓周與直徑的比,埃及與巴比倫早於公元前1,600年已經對圓周率的值作出估算,而估值誤差更在百分之一以內。到公元前200年,阿基米德對圓周率值的估算誤差已經少於百分之零點一。

他分別畫出一個圓內接六邊形及一個圓外接六邊形(見左圖)。透過計算兩個六邊形的周界,他就可以知道圓周的範圍在兩者之間。他以這方法計算十二邊形、二十四邊形、四十八邊形及九十六邊形的周界,隨茼h邊形的邊數增加,周界更接近圓周,從而找出圓周率更準確的值。

他的這個方法,與現代的微積分基礎類似。

阿基米德提供的不只是一個答案,他提供的方法可以讓估算達到任意的精準度,即後人可以繼續計算九十六邊形以上的多邊形而找出圓周率的值。

印數學家比牛頓早兩世紀發現公式

到了15世紀,印度數學家Madhava of Sangamagrama把圓周率寫成無窮級數:

若只考慮這算式的首21項,已經可以把圓周率的準確度計算至小數後11個位。許多人以為這公式是西方17世紀發明微積分時期的產物,事實上印度這位數學家比西方的牛頓早了兩個世紀發現這公式呢!

求圓周率準確數值有何用?

數學家不斷發明新的方法計算圓周率的準確數值,到了2011年,圓周率的數值已經被計算到小數後1,013個位。一般科學運算不會需要超過小數後40個位,所以計算圓周率的準確數值主要為滿足人類打破紀錄的慾望。

不過,這些精準的計算方法及數值,亦可以幫助測試超級電腦和測試要求高準繩度的程式運算。

常數受歡迎 相關逸事笑話連篇

圓周率大概是最常見的數學符號,有好些書本電影亦會提及它,更有人以圓周率作曲。世界各地會於每年的3月14日慶祝圓周率日,巧合地,愛因斯坦的生日亦是在3月14日。

報章上有時亦會提及圓周率的數值計算已經打破了世界紀錄,亦有人以背誦圓周率小數後67,000個位而成名。這些對圓周率的報道,讓人加強了對這個常數的偏愛。

「化圓為方」1882年證不可能

關於圓周率還有許多趣聞逸事,以下為當中的表表者。

古希臘時期,有三大幾何難題,每一題也差不多花了兩千年才被數學家解決。其中一道「化圓為方」,意謂只以圓規和沒有刻度的直尺,用有限的步驟,畫出一個與指定圓形面積相同的正方形。此難題已於1882年被數學家解決,證明了化圓為方為數學上不可能。

美業餘數學家稱找到「真理」

1894年,有位美國業餘數學家聲稱他找到方法完成「化圓為方」,他向州政府提出議案,內容為引入新的「數學真理」,若州政府接納,這「真理」可以讓州內的學生免費使用。這個議案隨後寫茪@大堆數學內容,還有業餘數學家的成就:「......他的答案......被《美國數學月刊》接納為對科學的貢獻,而數學家亦早已放棄這道不可解的、神秘的、超越人類能力理解的難題。」事實上,他的「答案」真的被刊在這份月刊,只是月刊加了一句免責聲明「作者要求刊登的」。

這時州政府開始進行辯論,這個議案的內容引起眾人的疑惑,有人認為議案應轉交財政部,更有人認為不如送往排污處理部,讓議案在那處找到一個合適的墓地。最後,議案被轉交至教育部。

「正牌」拒交友:已認識太多瘋子

就在此時,一名真正的數學教授剛好目睹這場辯論,一名議員向他轉述議案,並希望介紹業餘數學家給他認識。數學教授拒絕,並說他已經認識太多瘋子了。

最後議案送到參議院,最後一名參議員認為他們無權為數學真理下定義,故此議案不獲通過。而許多報章亦嘲諷如此鬧劇,此事就落幕了。

小 結

那麼業餘數學家到底犯了什麼計算上的錯誤呢?他在計算中,把圓周率當作3.2,即一個可以表達成分數的有理數。而事實上,圓周率為不能寫成分數的無理數,他本人再加上一班不懂數學的議員亦不知圓周率為何,故有此鬧劇。 ■吳俊熙博士

作者簡介:畢業於加州大學洛杉磯分校(UCLA),曾在加州的州立大學教授化學,現任教於香港大學。聯絡:www.facebook.com/drbennyng。

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