看完上兩周的文章後，相信大家對拿取遊戲（Take-away Game或Nim）都提起了一定的興趣。這類遊戲相信是源於中國，發展至今在世界各地已有很多版本。
起初大家對這類遊戲的致勝之道都不大清楚，但隨着數學家們的研究，很多版本已可以透過數學方法獲得勝利。
下面的遊戲跟我們上兩周介紹過的「拿石子遊戲」很相似，讓我們一起看看：
將一堆石子排成三行，第一行、第二行及第三行分別有石子2顆、3顆及6顆。兩人輪流拿取石子，每人每次只可以在其中一行拿取石子，拿取石子的數目沒有限制，但每次必須至少拿取1顆。拿到最後一顆石子的為勝利者。
Nim-sum易計算
要解答上述問題，我們須做下列步驟。
第一步：將 2、3 及6化成二進位數，即是10、11及110。
第二步：將這三個二進位數對齊寫好，如下表所示。
第三步：要計算「Nim-sum」。Nim-sum的計算方法很簡單，在已對齊數位的二進位數直看，如果在同一直行上有單數個1，則在該直行寫上1；如果在同一直行上有雙數個1，則在該直行寫上 0，所以上述遊戲的Nim-sum為111。
保持0就贏
保證獲勝的方法很簡單，誰能夠將Nim-sum上所有的1，在拿取石子後全部消失或變成0 ，即是誰「將Nim-sum保持0」，誰就獲勝；而更重要的是，如果Nim-sum上已有1的出現，這種保證必勝的拿取方法就一定存在。換句話說，除非先拿者不懂方法，否則在這個設置下，這個遊戲一定是先拿者必勝。
讓我們看看二進位數的數位，由右至左計起，第三個直行只有一個1，這個1必須消失，而由此亦帶出了玩家必定要在第三行拿石子；第二個直行有三個1，這是單數個1，只要令這直行變成雙數個1，目的便可達到；第一個直行有一個1，但這個1卻在第二行出現，玩家無法在第三行拿取石子又能夠影響第二行石子的數目。
第一直行有兩個1便可
因此，玩家只好從第三行着手，在第三行最右的數位留一個1，使第一個直行有兩個1便可。綜合分析後，只要將第三行的110變成1，這就可以保證獲勝。
二進位數110代表十進位數的6，而二進位數1代表十進位數的1，即是要將第三行的石子數目由6變成1，先拿者只需在第三行拿取5顆石子便可，他只要繼續按「將Nim-sum保持 0」這個策略去拿取石子，必定獲勝。
那麼另一位玩家又如何呢？若他能夠「將Nim-sum保持0」，他豈不是也能獲勝嗎？不幸的是，當輪到這位玩家拿取石子時，若Nim-sum已經是0，那麼無論他怎樣拿取石子，之後的Nim-sum都必定有1出現，換句話說，他無法「將Nim-sum保持0」，基本上，他輸定了。
結 語
Nim-sum可以廣泛應用，亦包括上兩周的遊戲，不過上兩周的遊戲設置畢竟與本文所介紹的不同，Nim-sum的特性也稍有不同，尤其是應用在矩形上時，Nim-sum 只能作一個參考指標，而不是判斷勝負的唯一標準。
二進位數是高深的電腦數字系統，而一個普通的「拿石子的遊戲」的必勝策略竟然可以用二進位數來描述，這真令人驚訝！數學其中一個令人着迷的地方就是：表面上看似不相關的事情，卻往往隱藏玄妙關係！■蔡欣榆
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