平日走路的時候，手臂總是一邊揮動着的，一擺一擺之中，手掌位置的高低，原來可以用三角函數表示。為了簡化情景，不妨考慮平面的情況。
以下嘗試就着手臂擺動的情景，用數學描述一下。
在圖一中，AB代表上臂，而A是肩關節的位置，C則是手掌的位置，那樣手臂在擺動中，手掌到了C的位置，就是圖一的情況。上臂長度設為20 cm，下臂長度設為25 cm，那樣手臂垂下來的時候，手掌就是在A點以下45 cm的位置。設AB與垂直線夾角為α，BC與垂直線夾角為β，那麽手掌到達C點的位置時，手掌的高度就是在A點以下(20cosα+25cosβ)cm的位置。
另外，這裡α和β在情景中是有限制的。由於手肘的關節限制，它不能反向的屈，因此β?α。 也由於下臂最多只能屈到和上臂重叠，因此β?α+180o。
這裡簡單地示範了一個用數學描述真實情景的過程。過程中不單是將各長度和角度給了個名字和做簡單運算，亦要求在該現實情景中，引入情景獨有的條件限制，使條件更合乎真實。
雖然在平日走路，並不太需要考慮什麽手掌高度，但若果將這個情景抽象一點看，把它看成一條機械臂移動的情況，那樣又多了一點實用。現代工業越來越多用機械臂，市面亦開始多了可編程的玩具機械人產品，當中的技術裡也會用很多數學。
當然，相關的數學是複雜多了，有興趣的話，網上也很易找到筆記看看。
這次分享的題目是一道三角函數求和的問題，技巧簡單，略有奧數的趣味。
問 題
計算cos10o+cos20o+cos30o+...+cos180o。
答案
注意到cosθ＝-cos(180o-θ)，得知，cos170o=-cos10o，cos160o=-cos20o
那樣一對對地加起來，都是0。只餘下cos90o+cos180o=0-1=-1。
因此答案為-1。
奧數已簡化 多學現實應用
這道題倒是簡單的，只是技巧也太特殊了點，不易作有用的推廣。純粹作為一道引發興趣的題目是足夠的，但廣泛的用途就算不上了。
事實上，三角函數的簡化是困難的，三角恒等式和不等式都是非常複雜的，課程內多是高中才教三角函數的倍角公式之類，若是同學想在奧數上發展的話，適宜早些學會。因為即使有心訓練，還是要一些時間才能夠熟練的，熟練後才能更進一步掌握一些較巧妙的變化。
剛才的題目和手臂擺動的例子，其實都是一些簡單的情景。現實中的應用，不管是機械臂的移動，或者是三角函數的簡化與運算，都是遠遠比這些複雜的。奧數也是一個簡化了數學世界，用來多少令中小學生看看多點數學的風景，提升一點興趣。
現實應用中的數學世界，或者現代數學的世界，是不能相提並論的，後兩者是博大精深得多。學生在學習奧數之餘，亦應重視課程內的數學，以及多點閱讀奧數以外的數學書，才是學習數學的正途。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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