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【奧數揭秘】擺臂擺出三角函數

2017-03-15

平日走路的時候,手臂總是一邊揮動茠滿A一擺一擺之中,手掌位置的高低,原來可以用三角函數表示。為了簡化情景,不妨考慮平面的情況。

以下嘗試就茪煻u擺動的情景,用數學描述一下。

在圖一中,AB代表上臂,而A是肩關節的位置,C則是手掌的位置,那樣手臂在擺動中,手掌到了C的位置,就是圖一的情況。上臂長度設為20 cm,下臂長度設為25 cm,那樣手臂垂下來的時候,手掌就是在A點以下45 cm的位置。設AB與垂直線夾角為α,BC與垂直線夾角為β,那洶漺x到達C點的位置時,手掌的高度就是在A點以下(20cosα+25cosβ)cm的位置。

另外,這裡α和β在情景中是有限制的。由於手肘的關節限制,它不能反向的屈,因此β?α。 也由於下臂最多只能屈到和上臂重瞗A因此β?α+180o。

這裡簡單地示範了一個用數學描述真實情景的過程。過程中不單是將各長度和角度給了個名字和做簡單運算,亦要求在該現實情景中,引入情景獨有的條件限制,使條件更合乎真實。

雖然在平日走路,並不太需要考慮什洶漺x高度,但若果將這個情景抽象一點看,把它看成一條機械臂移動的情況,那樣又多了一點實用。現代工業越來越多用機械臂,市面亦開始多了可編程的玩具機械人產品,當中的技術裡也會用很多數學。

當然,相關的數學是複雜多了,有興趣的話,網上也很易找到筆記看看。

這次分享的題目是一道三角函數求和的問題,技巧簡單,略有奧數的趣味。

問 題

計算cos10o+cos20o+cos30o+...+cos180o。

答案

注意到cosθ=-cos(180o-θ),得知,cos170o=-cos10o,cos160o=-cos20o

那樣一對對地加起來,都是0。只餘下cos90o+cos180o=0-1=-1。

因此答案為-1。

奧數已簡化 多學現實應用

這道題倒是簡單的,只是技巧也太特殊了點,不易作有用的推廣。純粹作為一道引發興趣的題目是足夠的,但廣泛的用途就算不上了。

事實上,三角函數的簡化是困難的,三角痤它〝M不等式都是非常複雜的,課程內多是高中才教三角函數的倍角公式之類,若是同學想在奧數上發展的話,適宜早些學會。因為即使有心訓練,還是要一些時間才能夠熟練的,熟練後才能更進一步掌握一些較巧妙的變化。

剛才的題目和手臂擺動的例子,其實都是一些簡單的情景。現實中的應用,不管是機械臂的移動,或者是三角函數的簡化與運算,都是遠遠比這些複雜的。奧數也是一個簡化了數學世界,用來多少令中小學生看看多點數學的風景,提升一點興趣。

現實應用中的數學世界,或者現代數學的世界,是不能相提並論的,後兩者是博大精深得多。學生在學習奧數之餘,亦應重視課程內的數學,以及多點閱讀奧數以外的數學書,才是學習數學的正途。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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