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【奧數揭秘】用不定方程分配房間

2017-03-22

在放假的時候,一班同學去宿營,住在宿舍裡,分配房間的時候,當中也有點數學。比如房間有兩種,一種是3人房,一種是4人房,若果每間房都要住滿人,而學生人數共有35人,那牴搨n多少間3人房和4人房呢?

不難看出問題是一道方程求解的問題。設3人房有m間,4人房有n間,由題意得

3m+4n=35

其中m和n由於是房間數目,因此是正整數。

這裡要留意的是,未知數有兩個,而方程只有一條。一般而言,一道方程只能解出一個未知數。當一道方程的未知數多於一個,就稱這是一道不定方程。不定方程可以是無解,一個解,多個解或者無限個解,而以上的問題就是有多個解的一類。

不難試出(m,n)=(1,8)是其中一組解。然後4人房少3間,3人房就可以多4間,因此另一組為(m,n)=(5,5),同理得(m,n)=(9,2)。之後無法再將4人房換3人房,於是答案只有此3組。

回顧剛才的解題過程,就是一開始先試出其中一組解,然後其他的解就可以依次代換出來。一般來說,二元一次的不定方程,也是如此解法。

以下就茈t一道不定方程,練習一下剛才的方法。

問題

試求5x+8y=109的正整數解。

答案

觀察奇偶性得知,x為單數。嘗試x=1,得(x,y)=(1,13)為一組解。之後y減少5,則x增加8,因此(x,y)=(9,8)或(17,3)。

故此共有(1,13)、(9,8)、(17,3)3組解。

這裡可能有個疑問,就是開始時試數,會不會試很久也不中呢?這個是有方法的,比如可考慮等式兩邊關於8的餘數,那5x的餘數就要等於109除以8的餘數,即是5。考慮餘數後數字一般不太複雜,要試出來是挺快的。

又或者會問,那洵O不是一定有解,會不會有些數字配搭會無解呢?也是有的,比如9x+6y=28。只要觀察到等式左邊是3的倍數,而右邊不是,就知道這是無解的。

一般來說,對於不定方程ax+by=c,a和b的最大公因數為d,而d能整除c的話,這方程就有解,否則就無解。若果有一組解(x0,y0),則全部解為

其中t為整數。

二元一次屬基本

一講到一些數學的普遍形式,看茖泵h符號,還真挺嚇人的。其實具體怎樣解,之前都講完了,就是先試出一組解,然後其中一個未知數增大一點,另外那個減少一點,一直幹下去,就能找到全部。明白了這個想法,再看代數的形式,也會多點頭緒。

二元一次不定方程,在不定方程的課題中,差不多是最基本的形式,是奧數和初等數論的必修課題。不定方程之中,若是未知數是較高次的,即使是兩三次,就已經可以很難解。當中的理論和技巧都是夠鑽研許多年的事情,奧數之中只能算是淺嘗一下。 ■張志基

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