平常的一張長方形方格紙，比如圖一之中的，若是要求把全個圖形剪開成許多個1×2的小長方形（橫和直都可以），這個是沒難度的。
換一個情況，試把對角的兩個正方形拿走，成為圖二那樣，再觀察一下，看看還能不能完全剪開成1×2的小長方形。
由於格數不多，不難看出這個是做不到的。於是有個問題，就是格數多的時候，怎知道它是不可能的呢？
問 題 一
若把大方格紙剪去兩對角，如圖三那樣，那麽能否完全剪開成一個個1×2的小長方形？
答 案
若是不斷去嘗試兩個兩個地數着，嘗試的方法是很多的，不過即使試了很多次，除非試到有一次成功，否則也頗難確定是否真的不行。
多試幾次試不到，最多能主觀地比較相信它不可能，還未是它不可能的確據。
以下用到了一個染色的技巧，就能看到為什麽不可能。
把方格紙染上黑白色，如圖四那樣，會看到黑格比白格多兩個，這有什麽用呢？要注意到1×2的小長方形，無論在什麽位置，總是一黑一白。因此黑格比白格多的圖四，必然不可能完全剪成1×2的小長方形。
多練習「普遍化」思維
解題當中，用到了染色的技巧，而且不難看出，這個染色的技巧，無論圖形多大，或者根本不是大長方形，只需要符合黑白格數量不同的條件，就可以知道它不能被剪成小長方形。1×2的小長方形，其實在證明中是一黑一白，成了解題關鍵，而這個也可以普遍一點地看，原來只需要黑與白是1:1就行了，於是也可以講到，其實1×4和2×2的小矩形，也是無法剪出的。
剛才這一段，展示了一種普遍化的思維，就是在理解證明之中，洞悉關鍵，然後知道題目之中的條件如何改變，推論仍然成立。這個思考方式在數學之中是常用的，也有許多不同的層次。因着數學知識的厚薄，也會聯想起不同的普遍化的方式。這樣的思考方式，可以在特殊的現象之中，看到更多的普遍事理，把個別的技巧擴大應用範圍，因此不單是一個數學技巧，而是一個普遍的思想技巧。
要留意到這樣的普遍化，是基於題目之中的解法。若是解法不同，經普遍化而得的結果亦大不相同。試想像若是純粹用一個一個數的方法去解剛才的問題，即使嘗試普遍化，所得的結果就未必有原先的那麽豐厚。
以上是由剪紙之中，講到了染色技巧，然後示範了一點普遍化的思維，當中普遍化尤其重要，是學好數學的關鍵，值得多練多想。 ■張志基
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