中學時學會了根式的運算，單是化簡，又要做質因數連乘式，加減乘除時也有許多考慮，相當麻煩。
若是根式裡又有根式，那還真是挺恐怖，例如化簡[3+2 2] ，也不是許多中學生一看就懂的事，這個有興趣的讀者可以試試，答案是[1+ 2] 。
上面講的根式，也不過是根式之中多了一個根式而已，看了已經有點複雜，若是根式之中不斷還有許多個根式，那倒是難做得很。這個普遍來說也是的，只是也有些情況做得到的，頗為好玩。
問 題 一
答 案
這個看來還真神奇的，一直開方下去，究竟有沒有數值，其實也不易理解的，不過大體上來說，根式裡有1加多一點點什麽，那麽大概整體也是比1大的。為了討論方便，不妨設x= [1+ 1+ 1+ 1+...] 。
解題關鍵就在於留意到根式之中，其實也是x的樣子，於是有[x= 1+x]
從而可以移項解方程，得如下算式：
[x2-x-1=0]
[x= ] [1± 5][2]
由於x為根式，必然非負，因此[x= ] [1+ 5][2] 。
中學課程解「無窮」足夠
剛剛解一元二次方程[x2-x-1=0]時用到了公式，那是高中的內容，若是奧數就要初中就懂。普遍對於一元次方程[ax2+bx-c=0]，其中[a≠0]，普遍解為
[x= ][-b± b2-4ac][2a]
解題當中，留意到有個特點，就是根式之中有x的形式，於是把根式之中部分也當成x，這裡用到了一個想法，就是根式之中有無窮無盡地延伸下去的特性。因此根式內還不斷有根式在其中。這當中有個無窮的概念。
無窮的概念在數學中的現象是有點特別的，以下拿中學課程中的一些例子說明一下。
無窮的概念在中學數學裡，初中階段有循環小數的討論，比如[0.4444...= ][4][9] ，化成分數的過程中，設y=0.444...，那麽：
10y=4.444...
10y-y=4
[y=][4][9]
這過程中，也有0.444...這個循環小數後邊有無窮個4這特點，因而10y-y可以完全消去了小數部分。留意到這裡的y的小數點後有許多個4，而10y的小數點後明明少了一個4的，因為乘10後有一個4去了個位，而消去小數部分的過程中，把y和10y小數點右邊的4當成一樣多的，究竟y和10y小數點右邊的4是差1個還是一樣多？這是無窮的概念特別的地方。
高中階段，有無窮個幾何數列的項求和的過程，比如[1+ + + +...=2][1][2] [1][4] [1][8] 。等式左邊若是有限個加起來，總是比2小一點點，再多幾個也好，還是比2小一點點，但加起來，就是2了，好像有點跳了一些步，這個若有若無的一點點差異，當中有個無窮的概念。
以上兩個例子，可以看到無窮是有點特別的，循環小數乘了10，小數點右邊明明少了一個4，又當成了跟未乘10時一樣多。或者是[1+ + + +...][1][2] [1][4] [1][8] 之中，無論怎樣加，怎樣還是差一點點，但又當成了那點很小很小的差異不存在，這就是無窮的概念在數學中的奧妙之處了。
這些無窮的概念怎樣理解，就不是奧數的範圍可以詳述的了，而事實上中學的理解和大學數學系的理解也會略有差異，有興趣的讀者可以找微積分的歷史和一些分析學的書看看。在中學階段，教科書中對於無窮的理解是足夠好的，以上只是指出一些現象當中還可以進一步探索的地方，不作進一步探究亦無礙課內的學習，這個要留意。
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