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【奧數揭秘】排序不等式

2018-03-14

平日在學校做數學功課和小測的時候,有時會計入考試分,比如佔考試分的10%,而考試的時候,多項選擇題就佔30%,長題目就佔60%,這樣三部分綜合起來,就是最終的考試分。為了討論方便,把各部分的總分都設為100分。問題是,若果有三個學生,甲同學三部分分別得分是70,50和60;乙同學得分是50,60和70;丙同學得分是70,60和50,三人的分數大小都是50,60和70三個數,只是次序不同,那狠痐H的得分最多,誰人得分最少?

算出來當然是容易的,就是未算出來,大概也會覺得,當然是比重較大的部分得分高一點,總分會較多。相反,若是高分的部分都在比重少的地方,得分就愈少。而事實上,

50×10%+60×30%+70×60%

?70×10%+50×30%+60×60%

?70×10%+60×30%+50×60%

數學上的排序不等式,大概就是說明這回事。

排序不等式:設有兩個有序數組,a1?a2?...?an及b1?b2?...?bn,則

a1b1+a2b2+...+anbn

?a1bj1+a2bj2+...+anbjn

?a1bn+a2bn-1+...+anb1

其中j1, j2, ..., jn是1, 2, ..., n的任一排列。不等式等號當且僅當a1=a2=...=an及b1=b2=...=bn時成立。

數學符號和術語看起來還真夠嚇人的。其實簡單來說,就是兩組數分別由小至大排列起來,然後較小的乘以較小的,之後乘積總和就是最大的。若是其中一組數的次序亂了,總和就小一點。要是一組由小至大,另一組倒過來,由大至小,那麼逐項相乘時總和就是最小的。有個簡單的記法,就是

順序和?亂序和?逆序和

這個不等式的證明在網上也不難找到,就不費篇幅說明了。這一道不等式,在奧數中是要懂的,也不在平常的課程之內,用起來技巧也不少。

問 題

設a1,a2,...,an為各不相同的正整數。求證:

[1+] [1][2][+] [1][3][+...+] [1][n][?a1][+] [a2][22][+] [a3][32][+...+] [an][n2]

答 案

留意到[1>] [1][22] [1][32][>][>...>] [1][n2],而a1,a2,...,an沒分次序,不難聯想起亂序和,因此考慮把a1,a2,...,an由小至大重新排列,稱為b1,b2,...,bn,那麼

[a1+] [a2][22] [a3][32][+][+...+] [an][n2][?][b1+] [b2][22] [b3][32][+][+...+] [bn][n2]

然後由於重新排列之後,b1,b2,...,bn仍是彼此不同,因此有b1?1,b2?2,...,bn?n

從而有[b1+] [b2][22] [b3][32][+][+...+] [bn][n2][?][1+] [2][22] [3][32][+][+...+] [n][n2]

[?][1+] [1][2] [1][3][+][+...+] [1][n]

因此原式得證。

題目難度適中 培養學生自信

這道不等式的好處是一方面直觀上合理,而數理上亦正確,基本上聽過一次,就會記住了,很易記。就是證明未看過,結果總是會記得的。奧數之中有些不等式是傳統上都要記得的,排列不等式是其中一條,另外還有柯西不等式和平均不等式,也是要熟記的。

事實上,熟記了不等式,多少懂得應用,但距離競賽的要求還是很遠的。競賽裡的不等式,不時都要把未知數做代數變形,又有添項拆項之類。加上不等式還可以有一些比起等式遠為複雜的變化,比如當x?3時,3x2?6x+3,這句單獨來看是不難證明的,只是若果在證明另一些不等式中,要插入這一句才能夠完成,或者連這一句也根本看不到,那又是難得很。等式就不同了,3x2本身即使做了代數變形,化簡後仍是一樣的,不會變到面目全非。

不等式在奧數之中是很有魅力的課題,因為通常答案是很漂亮的,若是用對了方法,繁複的計算中一下子就變成了簡單的結論。也由於難度高,做得到的成功感也很大。這也是不等式有趣的地方之一。

■張志基

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