小學時學習除數，就會接觸到餘數的概念。比如除數是5的話，餘數可以是4，3，2，1或0，餘數總是小於除數。課內數學在處理餘數時，多是把餘數設為0或以上，這本身固然是對的，不過有些時候，若是把餘數的概念推廣至可包含負數，在解題中是會有省略步驟的效果。比如剛才以除數為5時作例子，餘數就是0，±1和±2。把正整數按着固定的除數，把各個餘數的情況分開討論，是常用的技巧。
以下的問題，就着省略步驟這一點說明一下。
問 題
求出所有質數p，使得 7p+2 和 10p+7 皆為質數。
答 案
若 p=3 ，7×3+2=23 和 10×3+7=37 都是質數。
若p可表示為3m，其中m為大於1的正整數，則p本身不是質數，不可能。
若p可表示為 3m+1 ，其中m是正整數，則 7(3m+1)+2=21m+9=3(7m+3) ，是合成數。
若p可表示為 3m-1 ，其中m是正整數，則 10(3m-1)+7=30m-3=3(10m-1) ，是合成數。
因此，若要使得 7p+2 和 10p+7 皆為質數，只有p=3 的情況。
解題過程中，其實就是把所有2或以上的正整數，考慮各數除以3之後的餘數，分開討論，然後在各個情況中得知最終只有的情況才成立條件。
仔細看看這個解題過程，會發現一開始時，並不是由最小的質數2開始的。那麼它在哪裡？原來已包含在 3m-1 的情況之中，因為m是1的時候，3m-1 就是2。而p可表示為 3m-1 的形式，就是p除以3餘-1的情況。若不用 3m-1 的形式，也可以用 3m+2 的形式，即p除以3餘2的情況。不過這樣的話，3m+2 在m是正整數的情況下，就不包括 p=2 的情況，要討論的話就要另外驗算，有點麻煩。
就着以上的問題看，由於除數只是3，餘數不多，用 3m-1 或 3m+2 都沒什麼大分別，省略不了多少步驟。不過若果除數較大時，餘數就多了，額外要討論的情況就多了，也麻煩了不少。
把正整數按着不同的餘數作分類，還可以看到其他性質的。例如可以知道一個平方數p2除3的餘數，不會是2。這個怎樣理解呢？
若p是3的倍數，p2當然是3的倍數，可被3整除。
若p不是3的倍數，則只有 3m+1 和 3m-1 兩種形式，而p2=(3m±1)2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1，即除以3的話，餘數只能是1。
從這個例子看來，把除以3的餘數分成+1和-1來考慮，討論時一併考慮，是非常簡便。不然的話，若是考慮 3m+1 和 3m+2 兩種情況，又會做多了不少步驟。不難推想出，若果除數比較大時，用上了餘數可正可負的想法，省去的步驟就多很多了。
在奧數之中，考慮正整數的性質時，按着一個固定的除數，把正整數用餘數來做分類，在過程中經常會發現許多奇妙的特性。而用餘數做分類時，究竟是正負數都用上了，還是只用0或以上的數，就要按着題目而定。這點想法聽來是簡單的，但解題時效果，隨時是把步驟省略了一半，非常方便。奧數裡有時就是有些想法，令到表達簡潔之餘，又不失嚴格性，那樣做題目時也少了因為表達繁瑣而產生的失誤，長遠來說是有益處的。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
逢星期三見報