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【奧數揭秘】餘數分類

2018-04-11

小學時學習除數,就會接觸到餘數的概念。比如除數是5的話,餘數可以是4,3,2,1或0,餘數總是小於除數。課內數學在處理餘數時,多是把餘數設為0或以上,這本身固然是對的,不過有些時候,若是把餘數的概念推廣至可包含負數,在解題中是會有省略步驟的效果。比如剛才以除數為5時作例子,餘數就是0,±1和±2。把正整數按茤T定的除數,把各個餘數的情況分開討論,是常用的技巧。

以下的問題,就茯椏尹B驟這一點說明一下。

問 題

求出所有質數p,使得 7p+2 和 10p+7 皆為質數。

答 案

若 p=3 ,7×3+2=23 和 10×3+7=37 都是質數。

若p可表示為3m,其中m為大於1的正整數,則p本身不是質數,不可能。

若p可表示為 3m+1 ,其中m是正整數,則 7(3m+1)+2=21m+9=3(7m+3) ,是合成數。

若p可表示為 3m-1 ,其中m是正整數,則 10(3m-1)+7=30m-3=3(10m-1) ,是合成數。

因此,若要使得 7p+2 和 10p+7 皆為質數,只有p=3 的情況。

解題過程中,其實就是把所有2或以上的正整數,考慮各數除以3之後的餘數,分開討論,然後在各個情況中得知最終只有的情況才成立條件。

仔細看看這個解題過程,會發現一開始時,並不是由最小的質數2開始的。那麼它在哪裡?原來已包含在 3m-1 的情況之中,因為m是1的時候,3m-1 就是2。而p可表示為 3m-1 的形式,就是p除以3餘-1的情況。若不用 3m-1 的形式,也可以用 3m+2 的形式,即p除以3餘2的情況。不過這樣的話,3m+2 在m是正整數的情況下,就不包括 p=2 的情況,要討論的話就要另外驗算,有點麻煩。

就茈H上的問題看,由於除數只是3,餘數不多,用 3m-1 或 3m+2 都沒什麼大分別,省略不了多少步驟。不過若果除數較大時,餘數就多了,額外要討論的情況就多了,也麻煩了不少。

把正整數按茪ㄕP的餘數作分類,還可以看到其他性質的。例如可以知道一個平方數p2除3的餘數,不會是2。這個怎樣理解呢?

若p是3的倍數,p2當然是3的倍數,可被3整除。

若p不是3的倍數,則只有 3m+1 和 3m-1 兩種形式,而p2=(3m±1)2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1,即除以3的話,餘數只能是1。

從這個例子看來,把除以3的餘數分成+1和-1來考慮,討論時一併考慮,是非常簡便。不然的話,若是考慮 3m+1 和 3m+2 兩種情況,又會做多了不少步驟。不難推想出,若果除數比較大時,用上了餘數可正可負的想法,省去的步驟就多很多了。

在奧數之中,考慮正整數的性質時,按茪@個固定的除數,把正整數用餘數來做分類,在過程中經常會發現許多奇妙的特性。而用餘數做分類時,究竟是正負數都用上了,還是只用0或以上的數,就要按蚚D目而定。這點想法聽來是簡單的,但解題時效果,隨時是把步驟省略了一半,非常方便。奧數裡有時就是有些想法,令到表達簡潔之餘,又不失嚴格性,那樣做題目時也少了因為表達繁瑣而產生的失誤,長遠來說是有益處的。 ■張志基

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