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【奧數揭秘】判別式有限制

2018-06-13

一元二次方程式是高中數學的基礎,形式為ax2+bx+c=0,就荇琲漫宒閬酗T個情況,就是兩個實根,或只有一個根,或者是兩個非實數根。至於如何判斷這三種情況,就是靠判別式了,那就是△=b2-4ac。這裡篇幅有限,就不詳述關於一元二次方程的內容了,這些都不難在高中教科書裡或網上找到。

平常在課程內的問題,判別式在計算時,通常只關注它是正是負還是零,而不怎樣理會它本身的數值怎狩芊C以下分享的題目,會發現判別式的數值,在一些條件下,是有限制的。

問 題

設a,b,c是整數,求證:ax2+bx+c=0的判別式不能是10。

答 案

假設△=b2-4ac=10,由於4bc和10皆為偶數,則b2為偶數。設b=2m,其中m為整數,則

(2m)2-4ac=10

4(m2-ac)=10

由於等式左邊是4的倍數,而右邊除以4餘2,矛盾。因此判別式不能為10。

在證明的過程中,10這個數字,之所以令到判別式不會與它相等,就是因為10是雙數之餘,還是4n+2型的雙數,即是除以4餘2的雙數。若判別式是這樣的雙數,會令b2為雙數,從而b2=4m2亦是4的倍數,與4ac合起來看,就仍是4的倍數,不會是4n+2型的雙數,從而得出矛盾。

類似的結論,還有「設a,b,c是整數,求證:ax2+bx+c=0的判別式不能是4n+3,其中n為整數。」否則若有b2-4ac=4n+3,則b2為單數,設b=2k+1,其中k為整數,則有(2k+1)2-4ac=4(k2+k-ac)+1,除以4後餘1而不是3,不是4n+3型,從而得到矛盾。

這兩個關於判別式的結果,證明起來算是簡單的,不過平常倒是較少留意。

課程內的數學題裡,一元二次方程的系數,通常都是整數,只是判別式多數都是計了出來怎樣就怎樣,也沒留意它原來有些限制的,比如除以4不能餘2或餘3。

在這些關於判別式的事實來說,多少算是有點普遍性的,對於計算判別式的時候,固然多少是有點偵測錯誤的功能,不過又不算什洮亃j大的工具或者定理。事實上,數學上的問題和練習,當中有些是比較強的定理,可以廣泛應用的,另有一些就只是幫助學生了解自己不足的途徑,令到學生在遇上不足之後,在反省和學習中得到改善。

這題介乎兩者之間。在學習的時候,很難每一題都是可以廣泛應用的命題,事實上也不需要,能夠在練習和反省之中,一步一步累積各方面的想法,在不斷推論之中開闊思路,已經是不錯的得荂C

看文章有時也是這樣。無需要期望在一篇文章之中,可以窮盡各方面的道理,只需要在那個主題上,明白了一些相關的事理,作為一個起點,然後再進一步去探索其他相關的知識,這才是學習的方向。

現在網絡世界,不難找到有豐富內容的文章,懂得就茪@個重心,查找相關知識和資訊,使自己的思想由幾個點而連成一線,再由多條線而發展成為一個知識的網絡,這也是在學習上的重要能力之一。 ■張志基

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