一元二次方程式是高中數學的基礎，形式為ax2+bx+c=0，就着根的性質有三個情況，就是兩個實根，或只有一個根，或者是兩個非實數根。至於如何判斷這三種情況，就是靠判別式了，那就是△=b2-4ac。這裡篇幅有限，就不詳述關於一元二次方程的內容了，這些都不難在高中教科書裡或網上找到。
平常在課程內的問題，判別式在計算時，通常只關注它是正是負還是零，而不怎樣理會它本身的數值怎麽樣。以下分享的題目，會發現判別式的數值，在一些條件下，是有限制的。
問 題
設a，b，c是整數，求證：ax2+bx+c=0的判別式不能是10。
答 案
假設△=b2-4ac=10，由於4bc和10皆為偶數，則b2為偶數。設b=2m，其中m為整數，則
(2m)2-4ac=10
4(m2-ac)=10
由於等式左邊是4的倍數，而右邊除以4餘2，矛盾。因此判別式不能為10。
在證明的過程中，10這個數字，之所以令到判別式不會與它相等，就是因為10是雙數之餘，還是4n+2型的雙數，即是除以4餘2的雙數。若判別式是這樣的雙數，會令b2為雙數，從而b2=4m2亦是4的倍數，與4ac合起來看，就仍是4的倍數，不會是4n+2型的雙數，從而得出矛盾。
類似的結論，還有「設a，b，c是整數，求證：ax2+bx+c=0的判別式不能是4n+3，其中n為整數。」否則若有b2-4ac=4n+3，則b2為單數，設b=2k+1，其中k為整數，則有(2k+1)2-4ac=4(k2+k-ac)+1，除以4後餘1而不是3，不是4n+3型，從而得到矛盾。
這兩個關於判別式的結果，證明起來算是簡單的，不過平常倒是較少留意。
課程內的數學題裡，一元二次方程的系數，通常都是整數，只是判別式多數都是計了出來怎樣就怎樣，也沒留意它原來有些限制的，比如除以4不能餘2或餘3。
在這些關於判別式的事實來說，多少算是有點普遍性的，對於計算判別式的時候，固然多少是有點偵測錯誤的功能，不過又不算什麽很強大的工具或者定理。事實上，數學上的問題和練習，當中有些是比較強的定理，可以廣泛應用的，另有一些就只是幫助學生了解自己不足的途徑，令到學生在遇上不足之後，在反省和學習中得到改善。
這題介乎兩者之間。在學習的時候，很難每一題都是可以廣泛應用的命題，事實上也不需要，能夠在練習和反省之中，一步一步累積各方面的想法，在不斷推論之中開闊思路，已經是不錯的得着。
看文章有時也是這樣。無需要期望在一篇文章之中，可以窮盡各方面的道理，只需要在那個主題上，明白了一些相關的事理，作為一個起點，然後再進一步去探索其他相關的知識，這才是學習的方向。
現在網絡世界，不難找到有豐富內容的文章，懂得就着一個重心，查找相關知識和資訊，使自己的思想由幾個點而連成一線，再由多條線而發展成為一個知識的網絡，這也是在學習上的重要能力之一。 ■張志基
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