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【奧數揭秘】題目或平凡 解題不平凡

2018-09-12

奧數題裡有些問題看來很簡單的,但仔細做起來,思考過程卻充滿驚奇。這次分享的是一道不定方程。

問 題

a,b,c是三個自然數,滿足a+b+c=abc,求出所有的自然數解。

答 案

設a≤b≤c,

若ab>c,則abc>3c,於是a+b>2C,與a≤b≤c矛盾。

若ab=c,由a≤b,得a=1,b=3,因此4+c=3c,得c=2

若ab<3,則ab≤2。若a=b=1,則2+c=c,無解。

因此只有a=1,b=2和c=3。

普遍來說,就是{a,b,c}={1,2,3}。

回顧這道題目的解法,簡言之就是先排序,再分類,然後在各種矛盾中,找到最終只有一組的答案。

在解題的步驟裡,用到的數學知識很少,題目的形式也很簡單、很短,只是在推論之中,又會發現到這麽簡單的條件中,原來已經局限了答案只有一組。

奧數的題目裡,有一堆題目只是簡單一道算式,一道不定方程,若是看了答案,會發覺答案裡需要的知識毫不複雜,只是當中的做法,就難以知道為什麽要這樣轉彎。

例如上文的題解,a和b是合在一起看的,不是用a或b多少來分類,而是用ab來分類。另外,分類起來,當中用了3作為分類的那一點。這兩件事仔細想來,就知道並不是隨意選擇,都可以推論得那麼順利和簡潔。

個人的看法是,由開始時等式的條件中,自然數的乘積,一般都會比它的和大得多,因此若是有解,整體來說不會太大。在分類的時候,若將ab的數值做分類,而數值不太大的話,列舉出a和b兩數的時候,情況也不多,解起來也比較容易。至於為什麼用3來分類,那可能是因為做起來的時候,其實原本未必剛好用得那麼準,可能是用4或5,只是解出來之後,發覺解題的關鍵無須要那麼大的數,那表達時用3作分類就剛好了。

剛才的這一段,是一個看到答案之後,對解題策略的理解。在奧數裡,解題策略往往不是一板一眼的,可能有固定步驟,但通常都只是一個大致的方向,看到什麼情景,大致上怎樣會簡單一點、表達上容易一點、分類上簡潔一點,就先試試看,而不是未解之時,就已經全盤知道下一步要怎樣。

有時候完成解題,就知道真正的策略要怎樣,有時做了很久也沒答案,在理解答案的過程中,亦要進一步嘗試理解那個策略是怎樣想出來。

這當然未必真正可以知道解題人的原意,但這是學習上的重要部分。

這點反省跟事後孔明是不同的,要誠實不欺地反省,明白什麼想法之後會有用,長遠才可以有進步,相反,抱着自欺欺人的想法事後孔明,是不會有進步的。

原本看來簡單的問題,而基礎知識也不多的,對策略的反省,在學習中很重要。策略並不是公式,是有模糊的性質,並不是每一步驟都清晰可見的。懂得配合模糊的策略,和嚴格的推論,是處理難題的重要基礎。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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