在數學裡，函數是一個重要概念，大致上來說，就是一個用來描述兩個數的相應關係的概念。對於一個數x，它對應於另一個與x相關的數f(x)，比如f(x)=3x+1，那麽x=2的時候，f(2)=3×2+1=7。這個對於函數的理解，是一種粗略的理解，在課程內，函數的意思，也會按着不同程度，有着不同層次的描述方式。剛才描述的理解方式，對於以下內容已經足夠。
由於函數是在描述數量之間的關係，因此在數學裡經常出現，比如圓面積公式πr2，也可以表示為A(r)=πr2。注意這個f(x)裡的括號，與乘法的括號是沒關係的，只是函數表示方式的一部分，千萬要分清楚。
這次談到的函數迭代，就是把函數自身反覆代入的意思，比如剛才的f(x)=3x+1，若是代入它自己本身，就是f(f(x))=3(3x+1)+1=9x+4，若是一直這樣做下去，不難想像到，是相當複雜的事。剛才的這個函數，表達式上還算簡單，若果原本的表達式複雜一點，再加上迭代數次後，那個最終的表達式，可以是複雜到不得了。
這次分享一道關於函數迭代的問題，看看在巧妙的技巧中，怎樣化簡了那麽複雜的變化。
問 題
設f(x)=x2+12x+30，求方程f(f(f(x)))=0的最大實根。
答 案
初看這道題目，若是硬生生的先求出f(x2+12x+30)=(x2+12x+30)2+12(x2+12x+30)+30的話，那未做下去就已經知道非常複雜。
這裡先做一點代數的變形，那樣會有大幅簡化的效果。
留意到f(x)=x2+12x+30=(x+6)2-6。那麽
f(f(x))=((x+6)2-6+6)2-6=(x+6)4-6
f(f(f(x)))=((x+6)4-6+6)2-6=(x+6)8-6
因此方程是(x+6)8-6=0，得其中一個實根為[x=6 -6][1] [8]。留意到若[x＞6 -6][1] [8]，則(x+6)8-6＞0，因此為[x=6 -6][1] [8]最大實根。
領略數學簡潔美
在解題過程中，之所以把迭代的變化變得那麽簡單，關鍵在於當中用上了配方法（completing square）。這個只是在這一題有明顯效果而已，其他就不能一概而論。
其他也有些技巧比較常見的，比如橋函數法和不動點法之類，不過在奧數裡，這些都是頗困難的技巧，有興趣的讀者可以在網上尋找相關條目。
在迭代的過程之中，對於不同的x值，在反覆迭代之中，相關的數值變化起來，差異也可以很大。比如f(x)=3x+1之中，若x=0，代入後得f(0)=1，f(1)=4，f(4)=13，變起來的規律不太明顯。若果考慮[1] [2][x=-]，則f(-[1] [2])=3×(-[1] [2])+1=-[1] [2]，即是代入之後和原本的數值一樣，這就是f(x)的不動點。
在函數迭代之中，原本的x值改變一點，跟最終迭代多次後的數值是不是差一點點，可以是兩回事。比如剛才的[1] [2][x=-]=-0.5，就是怎樣迭代都一樣，若是差一點變成x=-0.51，迭代幾次之後都是完全不同。
函數迭代的題目，由於它有明顯的複雜性，因此在反覆迭代之中，最終能化簡成為一道簡單的算式，當中的成功感是很大，而且也會看到數學裡簡潔的美。
由於在數學技巧來說，在奧數的範圍內仍是相當複雜的課題，在課程內是難以接觸的，即使偶爾在挑戰題上略有涉獵，但複雜程度也有限，跟奧數相關的題目難以相比，看到的變化也很有局限。這也令到奧數在介紹這個課題上，變得有意義了。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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