在學校裡各樣的活動，當人數眾多的時候，往往要分組。而分組之中，各式各樣的分組方式，當中隱藏了不少組合數學。若果分別看每一個問題，形式好像千變萬化，要是能夠有一些較統一的表達方式，就能夠在眾多問題之中，找到較一致的思路。以下分享的問題，先用簡單的方法討論一下，然後再談談表達方式的問題。
問 題
將10個人任意分成甲乙兩組，每組至少有1人，問有多少種不同的方法？
答 案
對於每個人，都可以選擇甲組或乙組，有2個選擇。因此10人就有210=1024個分組方式。然而，其中有部分情況，是全部人皆是甲組，或全部人皆是乙組，這樣的情況有2個。因此共有1024-2=1022個不同的方法。
以上的解題思路，是按着每個人的選擇方式，配合乘法原理，然後剔除多餘情況，去完成解題的。
題目中只有兩種選擇的情景，有一種表達的方式是常見的，就是用二進制，比如用1代表在甲組，而0代表在乙組。平常的數字表達方式都是十進制的，也就是逢十進一，而二進制則是逢二進一。舉例來說，十進制之中，123=1×102+2×101+3×1，而二進制之中，1102=1×22+1×21+0×1=6，10102=1×23+0×22+1×21+0×1=10。若果好像題目中的情景，就可以考慮那10個人的分組情況，是一個10個位的2進制數，而每個數對應於一種分組方式，比如11111100002，就是首6人在甲組，而最後4人在乙組的情況。
在這樣的表示方式之下，很快就知道00000000002和11111111112之間，對應於210=1024種分組方式，也容易看到全部0和全部1的兩個情況要剔除，從而得知有1024-2=1022個分組的方法。
這題由於尚算簡單，有沒有化成二進制，效果並不大。不過一般而言，把情景中各樣的選擇，編號成為數字，然後數算數字出現的形式，是一種有用的思路。
始終組合數學的情景都是太千變萬化，化成數字去數，表達方式比較統一，比較容易發現不同題目之間可能有關係，也有機會可以配合數論的工具去計算。
試想想把以上問題再探索一下，比如問起分成3組又怎樣，或者乙組只有2人又怎樣之類的。若果每個人分別考慮，那麼情況開始會變得複雜，但用上二進制或三進制之類，有個良好的表達方式，寫出來清清楚楚看到各樣的情況，就較少會出現重複與遺漏的錯誤了。
課內的數學，關於二進制的討論，多是在中三的科學記數法那一課裡教的，不過怎樣應用，就較少提及。當然這次的用法只是其中一個，而奧數裡是有不少用上二進制的巧妙方法，是令人大開眼界的，值得去見識一下。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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