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【奧數揭秘】項鏈上的數學

2019-03-20

這次談談一道奧數題目,講講當中的函數跟生活的關係。

這道題目看來是挺容易的,不過是把兩個有點特別的函數取平方,然後相減。函數當中的e是一個常數,大概是2.71828,高中的時候會提到,在數學裡很有用,不過這不是今次想談的事情。這次談談這個f(x)。

這個f(x)畫出來,看來是似曾相識。(圖一)這條看起來有點像拋物線又不是拋物線的線稱為懸鏈線,就是好像項鏈掛起來的樣子。至於為什麼會像,因為不只是看來似,是用物理法則推論出來的,就是背後有科學根據。不單是項鏈跟那個f(x)相關的,還有那些吊橋和鐵鏈也是差不多,方程的普遍形式就是f(x)=[1] [2]a([x] [a][e]+[x] [a][e-]),其中a是一個常數。至於怎樣推論出來,是要懂一點力學和懂得解一點簡單的微分方程的。

講到這個f(x),還有另一個名字,數學上是cosh(x),好像是中二時學的cos(x)多了個h。這個cosh(x)和cos(x)不只是名字差不多,數學上也有關係。cos(x)中文是餘弦,而cosh(x)是雙曲餘弦(Hyperbolic Cosine)。雙曲餘弦在中學課程裡不會說,不過中學生會在計算機上見過相關的東西,就是那個滿是神秘的「hyp」鍵。有不少學生都好奇地問過這個「hyp」鍵是什麼,也想知道跟自己有什麼關係。事實上,這個鍵的用法,就是先按「hyp」,然後按「cos」,再輸入數字,就是在計算雙曲餘弦。當然,有了雙曲餘弦,也有雙曲正弦sinh(x)=[ex-e-x] [2],其實也就是題目裡的g(x)。題目裡的關係,也就是cosh2(x)-sinh2(x)=1,跟平常的三角函數關係cos2(x)-sin2(x)=1非常相似。

為什麼奧數會談起這個呢?是不是奧數裡會用到雙曲函數呢?也不是。只是奧數裡會有不少較深入的數學的初階結果,久不久留意一下,就會有新發現。不少有心的老師會在學習了較深入的數學之後,把一些中學生也能明白的部分化成奧數題目,用來刺激學生思考。

奧數題目解多了,解難能力好了,固然是一種好,不過在知識上是有局限的。解決一些特殊的題目之餘,也別忘記去了解一下相關的課題,是屬於數學裡的什狠d疇,從而知道想深入了解的話,應該怎樣找資料。這些課程外的學習當然是有難度的,但也有輕鬆的一面,就是無需考試的,今天懂一點點,明白一點點,按茼菑v的進度和水平就可以了,也沒什麼功課要交,是一點壓力也沒有的,因此再難也沒什洶ㄔi以的。

事實上,解難多了,也是挺辛苦,看看一些課外知識,也有點調劑的效果。看點數學,也別覺得很奇怪似的,就當成聽首流行曲就好,能記住也好,忘了就下次再看。培養興趣要多點空間,只要不是硬繃繃苦練,興趣就會大了。興趣大了,思考數學的時間總會長一點,日子久了,能力也會強了。

要數學能力好,是要下苦功的,但苦功背後要有興趣支持。短時間內的操練好像見效很快,但長遠來說,卻會令人疏遠數學。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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