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【奧數揭秘】圓裡弧與弦

2019-06-26

圓形裡弧與弦的長度關係許多時不太明顯,不過要計算出來也不太困難。若那條弦分成了兩截,那麼弦上的中點,與折弦的中點有什麼關係呢?這次分享的問題就說說這回事。理解這道題目所需的知識,是圓的性質、全等三角形與等腰三角形,程度在課內來說是中四左右,奧數就屬中三左右。

問 題

AC和CB是圓的兩條弦(BC > AC),M是ACB的中點,過M作BC的垂線,垂足為F。問F是否為折弦ACB中點?(即BF = FC + CA,如圖一)

答 案

延長MF相交圖於D,再連結DA並延長,與BC的延長線相交於E。(如圖二)

以下嘗試證明△DFE ? △DFB。

由AM = MB,得∠FDA = ∠FDB。另外,DF為公共邊,由已知條件,亦知∠DFB = ∠ DFE。

因此△DFE ? △DFB(ASA)。

之後再嘗試證明CE = CA。

由∠DEF = ∠DBF = ∠CAE,得CE = CA。

故此BF = FC + CE = FC + CA。

原來對於那條折弦的中點,就是弧的中點到較長的弦的垂足。這個結果不太明顯的,即使說出來了,但做起來也未必順利。

解題的時候,那些連線和延長線是怎樣作出來呢?弧和弦的長度,有點難建立關係,還是先找到弧與角的關係較好,通過角就可以跟弦結合起來,看到多點關係,做點較深入的推論。例子中把MF延長了,就知道∠FDA = ∠FDB,又有∠DFB為直角的條件,那樣即使一時未做得到,能做出的推論還是有不少的,可以增加對圖形的了解。由於結果牽涉到折線FC + CA,那樣繞彎挺麻煩,於是就考慮把FC延長,然後再與DA的延長線相交於E,之後嘗試證明CE = CA,再證明到△DFE ? △DFB,發現的關係多了,最終結論也就浮現出來。

剛才這一段,就是筆者解決這一題的思考過程。不難發現想法很零碎,而且一個想法和另一個想法之間沒什麼必然關係。或者說,並不是一開始加線,就會知道思路行得通,都是在探索之中累積資料,突然有一下子把資料連結起來,才發現自己的想法行得通。一開始只是在嘗試將各樣資料,用一些較特殊的線(比如MD),把各樣資料連結起來,做點較深入的推論,務求對圖像多點了解,之後都是見步行步,不可能作一些很遙遠的預測。

怎樣解題是很難說的。因為讀文章時,讀者總會預期每句之間都有關係。只是解題的時候,想法與想法之間是跳躍的、不連續的,比較像拼圖,就是零零碎碎地一塊一塊拼好了,或者久不久把幾小塊拼好了,到後來才看得清全局的。

看數學書,有時就是什炯ㄚ鬫n了,寫得通順,但也沒有了探索過程,要明白解題的人的思路,也有困難。筆者也希望多點分享這個,令讀者多一個參考。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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