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【奧數揭秘】數字大小比較

2019-09-19

兩個數之間比較大小,在數學裡是一個很基本的問題,不過若是數字的表達形式相當複雜,比較起來就難了。比如分數,小學時比較[4] [7]和[5] [9],表面看來也不是一看就知,若是通分母,就知前者較大,或者是化小數也可以。不過若果分子分母的數多幾個位,那樣又會複雜許多,通分母也難很多。

問 題:試比較 [4567890] [5678901] 和 [4567891] [5678903] 的大小。

分析:留意兩數的分子和分母雖然相當複雜,但都類似,所以不妨設分子和分母為未知數,然後用上代數的層次來比較。

答案:

設x = 4567890,y = 5678901。留意右方的分子比左方的多1,分母則多2。

那麼兩數之差為[x] [y] - [x + 1] [y + 2] = [x(y + 2) - y(x + 1)] [y(y + 2)] = [2x - y] [y(y + 2)],已知2x - y > 0,而分母y(y + 2)必大於0,因此左方的數較大。

剛才解題的關鍵,就是把數字當中比較複雜而又類似的部分,用代數表示,之後就用代數的層次來運算。這個想法是很常用的,在課內和課外的數學,都不時見到。不妨留意一下,文章開始時的[4] [7]和[5] [9],其實也是右方的分子比左方的多1,分母則多2,這情況跟題目裡的情況一樣,相應的推論也同樣成立,也就是說,其實在代數的層次看來,兩次的比較道理一致。

這樣也看出了代數的好處,或者普遍一點說,較抽象的知識有什泵n處,就是會令人看到表面相差很遠的事物,在道理上是一樣的。數學知識的抽象,有不同的層次,一層一層的,會看到事理之間,是有相通相類的地方。

小學時學過的除法,例如20 ÷ 7 = 2...6,那樣被除數,除數,商與餘數之間,就可以寫成20 = 7 × 2 + 6。到了高中的階段,學了多項式除法,例如把x2 + 2x + 5除以x - 1,那樣就有x2 + 2x + 5 = (x + 1)(x + 3) + 8,商為x + 3,餘式為8。這裡整數和多項式之間,那個被除數和除數等關係,有相通相類的地方,可以有統一討論的空間,而事實上大學裡的代數,就會梳理好這些道理出來。

談到大學的代數是有點遠了,在中學階段,其實很少人可以掌握那些內容,原因一方面是網上雖然有不少教材,但未有師長介紹的話,自己找到適合的有點困難,另一方面是當中的抽象水平,對中學的優異生來說還是相當困難。

不過早點知道這些也是好的,始終網上的文章是有很多的,要找到好的普及文章或教材,若是有足夠琱葳P毅力的話,也是可能的。這裡就難以說那麼多了,因為箇中道理相當精微,一千幾百字的文章,只能說些簡單的部分。

在中學階段,處理運算的時候,看到實數、複數、多項式與矩陣的運算,有相通的地方,是好的觀察,看到共通的地方之餘,亦同時要知道當中細微的分別,知道推論時結果可以相差很遠。比如實數與複數,數與數相除,仍各自是實數與複數,但多項式與多項式之間相除,就已經不是多項式了,或者是實數a與實數b,相乘得ab,那和ba是一樣的,但矩陣來說,若果A和B都是矩陣,又能相乘,那樣AB和BA則普遍不同。

讀數學時能把共通的部分歸納出一致的原理,又不至於把細節混淆,是一種良好的抽象思考能力,通過多角度的比較異同,會通與歸類之後,思考起來就會清晰而快捷很多,這個要自己練的,難是不難,但要有琱艉~行。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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