圓形裡弧與弦的長度關係許多時不太明顯，不過要計算出來也不太困難。若那條弦分成了兩截，那麼弦上的中點，與折弦的中點有什麼關係呢？這次分享的問題就說說這回事。理解這道題目所需的知識，是圓的性質、全等三角形與等腰三角形，程度在課內來說是中四左右，奧數就屬中三左右。
問 題
AC和CB是圓的兩條弦（BC > AC），M是ACB的中點，過M作BC的垂線，垂足為F。問F是否為折弦ACB中點？（即BF = FC + CA，如圖一）
答 案
延長MF相交圖於D，再連結DA並延長，與BC的延長線相交於E。（如圖二）
以下嘗試證明△DFE ? △DFB。
由AM = MB，得∠FDA = ∠FDB。另外，DF為公共邊，由已知條件，亦知∠DFB = ∠ DFE。
因此△DFE ? △DFB（ASA）。
之後再嘗試證明CE = CA。
由∠DEF = ∠DBF = ∠CAE，得CE = CA。
故此BF = FC + CE = FC + CA。
原來對於那條折弦的中點，就是弧的中點到較長的弦的垂足。這個結果不太明顯的，即使說出來了，但做起來也未必順利。
解題的時候，那些連線和延長線是怎樣作出來呢？弧和弦的長度，有點難建立關係，還是先找到弧與角的關係較好，通過角就可以跟弦結合起來，看到多點關係，做點較深入的推論。例子中把MF延長了，就知道∠FDA = ∠FDB，又有∠DFB為直角的條件，那樣即使一時未做得到，能做出的推論還是有不少的，可以增加對圖形的了解。由於結果牽涉到折線FC + CA，那樣繞彎挺麻煩，於是就考慮把FC延長，然後再與DA的延長線相交於E，之後嘗試證明CE = CA，再證明到△DFE ? △DFB，發現的關係多了，最終結論也就浮現出來。
剛才這一段，就是筆者解決這一題的思考過程。不難發現想法很零碎，而且一個想法和另一個想法之間沒什麼必然關係。或者說，並不是一開始加線，就會知道思路行得通，都是在探索之中累積資料，突然有一下子把資料連結起來，才發現自己的想法行得通。一開始只是在嘗試將各樣資料，用一些較特殊的線（比如MD），把各樣資料連結起來，做點較深入的推論，務求對圖像多點了解，之後都是見步行步，不可能作一些很遙遠的預測。
怎樣解題是很難說的。因為讀文章時，讀者總會預期每句之間都有關係。只是解題的時候，想法與想法之間是跳躍的、不連續的，比較像拼圖，就是零零碎碎地一塊一塊拼好了，或者久不久把幾小塊拼好了，到後來才看得清全局的。
看數學書，有時就是什麽都拼好了，寫得通順，但也沒有了探索過程，要明白解題的人的思路，也有困難。筆者也希望多點分享這個，令讀者多一個參考。 ■張志基
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