logo 首頁 > 文匯報 > 教育 > 正文

【奧數揭秘】不等式和因式分解

2020-10-07

這次分享一道關於不等式和因式分解的題目。學校課程內,大概中三左右就有不等式的課題,而因式分解則是初中數學的基礎內容,綜合應用時,可以得到一些陌生的結果。

問 題:若a > 0,b > 0,n是大於1的自然數,求證:an + bn ? an-1b + abn-1。

答 案:留意到若a和b調換的話,算式都一樣,所以不妨設a ? b。左方減去右方,得P = an + bn - an-1 - abn-1 = an-1(a - b) - bn-1(a - b) = (a - b)(an-1 - bn-1)。

由於a ? b > 0,因此an-1 ? bn-1 > 0,故此P ? 0,命題得證。

處理不等式的方法,除了是從較複雜的一方開始,推論到較簡單的一方以外,也可以試試看相差,比如題解中的左方減右方,看看結果是否大於或等於0。或者有時是看左方和右方的比,與1比較起來是較大還是較小。這些都是基本的思路。

題解中用上了a和b在互換時算式一樣的性質,減省了a < b的情況要重複說明的煩瑣,這點兩個未知數互換時算式一樣的性質,稱為對稱性,在平常的算式堙A留意到算式有對稱性,結果卻失去對稱性的話,也會知道推論過程中可能出錯。

留意條件對證明的作用

這次也可以留意一下,題目的條件,在證明堸_了什麼關鍵作用。若果缺乏了這些條件,又會有什麼分別?比如a > 0和b > 0,在題解堸_了什麼用處呢?要是a和b沒什麼限制,那a ? b時,就無法推出an-1 ? bn-1,例如3 ? -4,就有32 < (-4)2。可見a和b是正數的條件非常重要。

又可以留意一下,n是自然數的條件有什麼作用?若n可以是普遍的實數,當a ? b時,也無法推出an-1 ? bn-1,例如假設n是0,有3 ? 2,3-1 = [1][3]  < [1][2]  = 2-1。可見n是自然數的條件也有作用。

學生初接觸奧數,有時會忽略了題目堿搢茷僉眾瑼滷囓鞳A尤其當未懂得做題目時,一句一句地看看答案,也可能會留意不到這些條件的重要性。往往是自己重新做一次,才發覺當中有疑問的地方。這些條件未看清楚,推論就容易有漏洞。

中學生初接觸奧數堛疑狻題時,思想未必有那麼嚴密,透徹地看清楚每個條件的重要性,往往要到證明後的回顧與反省之中,才看得到當中的細節。學生讀書自學時,固然能多了這點意識,虓N令思想細緻一點,但思想的漏洞,難免還是要師長指出來,才容易看得清楚。

中小學生堙A即使天資不錯的,面對數學難題時都會有些數學以外的問題,比如心態上未預備好接受挫折,或者是平常雖然思考敏捷,但當中有粗疏的部分,又未有足夠的耐性去留意到當中的漏洞。因為思想的疏漏,往往是需要詳細的表達和耐心的反省才會浮現出來,這點耐性不是一朝一夕可以培養的。也有些學生自覺聰明,一時間難以接受自己原來思想有失誤,自信心受影響。

解數學題時,邏輯結構可能很簡單,但怎樣把這點邏輯建立在一個又一個的人身上,學問就大了,即使筆者教了很多年,還是覺得有許多需要學習的地方。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

讀文匯報PDF版面

新聞排行
圖集
視頻