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奧數揭秘:摺紙解三角形奧數題

2016-11-02

三角形的特性是相當豐富的,其中一個經常在各類型的中小學奧數比賽中用得茠煽N是「若兩個三角形的高度相同,那麼它們的面積比等於它們的底長比」。

圖1共有三個三角形,它們是△ABD 、 △ABC及 △CBD,若以AD、AC及DC為底去計算它們的面積,那麼它們便有茯萓P的高,如圖2所示。

面積隨底長正變

三角形面積隨它的底長及其高度聯變(joint variation),若一三角形的高度固定不變,那麼它的面積則隨其底長正變(direct variation),意思即是若該三角形的底長變成原來的3倍,那麼它的面積亦同樣變成原來的3倍;若該三角形的底長變成原來的10倍,那麼它的面積亦同樣變成原來的10倍;反之亦然,這就是「面積比等於底長比」的意思。

圖1:△ABD、△ABC及△CBD的高度相同

圖2:虛線為△ABD、△ABC及△CBD的高

問 題

圖3 中,AD 是∠BAC的角平分線。證明AC:AB=CD:DB 。

題 解

直觀上看,△ABC 是由兩個三角形△ABD及△ACD合成,而AD是∠BAC的角平分線,意指∠DAC=∠BAD ,並留意下列兩點:

1. 觀察CD及DB與∠DAC及∠BAD的關係,正好是對邊對角的關係,因此我們可以嘗試利用正弦公式(sine formula)去求證。

2. 由於∠DAC=∠BAD ,若將△ABC 沿AD摺起後,AC會與AB重合,而對摺不會改變△ACD 的面積。

方法一:正弦公式(sine formula)

先設一些代數以方便書寫,如圖4所示。

證明 AC:AB=CD:DB等同於證明 [AC] [AB][CD] [DB][=],

如圖4所示,即證[x] [y][=][a] [b] 。

由 △ABD及正弦公式,得 [b] [sinθ][=][y] [sin(180o-β)],化簡後得[sinβ] [sinθ][=][y] [b] 。

由 △ADC及正弦公式,得 [a] [sinθ][=][x] [sinβ],化簡後得[sinβ] [sinθ][=][x] [a] 。

綜合上述兩式,得[y] [b][=][x] [a] ,即 [a] [b][=][x] [y]。

方法二:摺紙和三角形面積

以 CD 及 DB 為底去考慮△ACD及△ABD的面積,

得出△ACD與△ABD的面積之比為CD:DB。

現在將△ABC沿AD摺起後,AC會與AB重合,如圖5所示。

以AC及AB為底去考慮△ACD及△ABD的面積,

得出△ACD與△ABD的面積之比為AC:AB 。

因此,得 AC:AB =CD:DB。

結 語

數學的箇中趣味還有解題時所涉及的方法、概念及技巧,大家下次做幾何題時不妨嘗試一些「古靈精怪」的解題方法吧! ■蔡欣榆

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