三角形的特性是相當豐富的，其中一個經常在各類型的中小學奧數比賽中用得着的就是「若兩個三角形的高度相同，那麼它們的面積比等於它們的底長比」。
圖1共有三個三角形，它們是△ABD 、 △ABC及 △CBD，若以AD、AC及DC為底去計算它們的面積，那麼它們便有着相同的高，如圖2所示。
面積隨底長正變
三角形面積隨它的底長及其高度聯變（joint variation），若一三角形的高度固定不變，那麼它的面積則隨其底長正變（direct variation），意思即是若該三角形的底長變成原來的3倍，那麼它的面積亦同樣變成原來的3倍；若該三角形的底長變成原來的10倍，那麼它的面積亦同樣變成原來的10倍；反之亦然，這就是「面積比等於底長比」的意思。
圖1：△ABD、△ABC及△CBD的高度相同
圖2：虛線為△ABD、△ABC及△CBD的高
問 題
圖3 中，AD 是∠BAC的角平分線。證明AC：AB=CD：DB 。
題 解
直觀上看，△ABC 是由兩個三角形△ABD及△ACD合成，而AD是∠BAC的角平分線，意指∠DAC=∠BAD ，並留意下列兩點：
1. 觀察CD及DB與∠DAC及∠BAD的關係，正好是對邊對角的關係，因此我們可以嘗試利用正弦公式（sine formula）去求證。
2. 由於∠DAC=∠BAD ，若將△ABC 沿AD摺起後，AC會與AB重合，而對摺不會改變△ACD 的面積。
方法一：正弦公式（sine formula）
先設一些代數以方便書寫，如圖4所示。
證明 AC：AB=CD：DB等同於證明 [AC] [AB][CD] [DB][=]，
如圖4所示，即證[x] [y][=][a] [b] 。
由 △ABD及正弦公式，得 [b] [sinθ][=][y] [sin(180o-β)]，化簡後得[sinβ] [sinθ][=][y] [b] 。
由 △ADC及正弦公式，得 [a] [sinθ][=][x] [sinβ]，化簡後得[sinβ] [sinθ][=][x] [a] 。
綜合上述兩式，得[y] [b][=][x] [a] ，即 [a] [b][=][x] [y]。
方法二：摺紙和三角形面積
以 CD 及 DB 為底去考慮△ACD及△ABD的面積，
得出△ACD與△ABD的面積之比為CD：DB。
現在將△ABC沿AD摺起後，AC會與AB重合，如圖5所示。
以AC及AB為底去考慮△ACD及△ABD的面積，
得出△ACD與△ABD的面積之比為AC：AB 。
因此，得 AC：AB =CD：DB。
結 語
數學的箇中趣味還有解題時所涉及的方法、概念及技巧，大家下次做幾何題時不妨嘗試一些「古靈精怪」的解題方法吧！ ■蔡欣榆
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