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奧數揭秘:看摺痕求面積

2016-11-30

之前介紹過如何將一張A4紙摺成一個正四面體,若將摺好的正四面體打開看看它的紙樣(圖 1),並仔細觀察紙樣上的摺痕,不難發現有幾道摺痕將大的等邊三角形等分成4個等邊三角形。這些摺痕其實是有用的解題工具。

問 題

圖2由4個全等的等邊三角形重疊而成,陰影部分顯示3個全等的等邊三角形。已知陰影部分的面積為57cm2,求整個圖形的面積。

答 案

陰影部分為三個全等的等邊三角形,因此每個小三角形的面積為[57][3] cm= 19 cm2。現在我們可以選擇運用三角學的知識去求小三角形和大三角形的邊長,再繼而求出整個圖形的面積。雖然這個做法有一定保證,但是涉及較繁複的運算。在下筆前,我們可想想能否找出一個更直接的解題方法呢?

對了!圖1中的摺痕可以當輔助線用的。現在讓我們在圖2中加上一些輔助線,如圖3所示。 一看便知道整個圖形是由13個相同的小三角形組成,那麼它的面積當然是19cm×13cm= 247cm2。

小 結

除了等邊三角形外,正方形的摺痕也很有用的。如果將一個正方形邊對邊和角對角各對摺兩次,我們就可得出如圖4所示的摺痕。

這些摺痕至少透露了下列兩點:

(1)其中一種分割正方形的方法;

(2)如何摺出一個正方形,它的面積為原來的一半的方法。

摺紙與數學中的對稱性、圖形分割特性等關係密切,以後大家在處理圖形的問題時,不妨多想想這些特性,再善加運用吧! ■蔡欣榆

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