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【奧數揭秘】循環小數化分數

2016-12-07

科技帶給我們前所未有的方便,這個便利在計算上尤其顯著。我們可以在極短的時間內解決極繁瑣的運算,並且毫無保留地信任這些計算工具。那些在頃刻間得到的答案,有時會成為我們有用的資料及教材,帶給我們靈感,讓我們更容易學習觀察規律及分析。

憑茪@絲絲的線索,即使是還未學習高中數學的學生,又或是早已經忘記掉這樣那樣數學原理的你,都可以善用這些科技去發現一些屬於自己的計算方法與捷徑。

有一天,一名高中學生在手上的計算機按下 0.2222222222222222...(重複輸入了數十次的2,這方式表示它是一個循環小數,數學上的寫法是0.2.),然後按輸入鍵,並利用計算機的分數功能,試圖將小數化成分數,計算機顯示 [2][9] 。他接茷鬗U 0.77777777777...計算機給他的結果是 [7][9] 。他歡天喜地心想,似乎這部可以帶進公開考試試場的科學計算機能夠將循環小數轉化成分數,以後就不需要用等比數列的公式去做這事情了。

他接蚢襄掑ㄕP的輸入,並進行驗算,發現計算機給出的結果準確無誤。例如:

0.5. = [5][9]  0.6. = [2][3]  0.4 = [4][9] 

他接蚇擗J較複雜的情況,例如:

0.353535... = 0.3.5. = [35][99]  0.1.4. = [14][99]  0.6.3. = [7][11] 

在分母與循環部分之間似乎隱藏茯Y種規律,別忘記分數必須約簡,所以有時要擴分後才會看得到這種規律。

0.6. = [2×3][3×3]  = [6][9]  0.6.3. = [7×9][11×9]  = [63][99] 

原來學生們手上的計算機可以這樣用的,那麼這名學生當然要善用這個功能。現在他輸入循環部分數位更長的循環小數。例如:

0.134134... = 0.1.34. = [134][999] 

0.3.658. = [3658][9999]  0.1.351. = [1351][9999] 

至此,透過觀察規律及反覆驗算,他已經找到循環小數化分數的捷徑了。相信大家亦跟這名高中學生一樣,已經發現了規律,對嗎?

把握4點 小學生也做到

綜合所得,循環小數化分數要留意下列4點:

一、循環的部分出現在小數點後第幾個位,這會決定分母的末位有多少個連續的 0;

二、循環的部分的數位長度,這會決定分母有多少個 9;

三、利用以上兩點的觀察去計算分子;

四、最後分數必須約至最簡。

在發現規律後,現在連小學生也可以將循環小數化成分數了。

循環小數化分數的技巧與等比數列之和的公式的推導方法相同,做法在此不贅。

問 題

以分數表示 315.145.809.。

答 案

1. 先觀察循環部分發生在小數點後兩個位,所以分母的末位有兩個連續的0;

2. 然後觀察循環的部分,580958095809...,是每 4 個數字一個循環,所以分母寫上999900;

3. 最後計算分子,145809-14=145795;

4. 315.145.809. = 315[145795][999900]  = 315[29159][199980] 。

小 結

在不同的時空下,我們能夠認識、接觸及運用的事物與工具皆不同,以資源及識見而論,現代人會比前人豐富,能夠ㄤo我們思考和探索的事物亦會比前人的多。

以本文為例,前人由於沒有計算機在手,很難有這種體驗,但現在的學生卻能夠有這種機會去嘗試自行找出計算的方法,儘管這個方法表面上看似沒有足夠的數學知識支持,但在發現這個方法的過程中背後所涉及的觀察、驗算、歸類及分析,其實正正是學習數學要帶給大家的一些東西。 ■蔡欣榆

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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