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【奧數揭秘】由數列到走樓梯

2016-12-14

小時候學數學,人們大概都會被問過一道題,就是1、4、7、10之後,下一個數是什活H不少人都會答是13的,這也不錯。若是按茬o個規律下去,普遍來說就是每次加3,這是一個等差數列,通項為Tn=3n-2。

這些數列問題,好像很數學化的,令人覺得有點陌生。其實數列是什洸O?數列就是一個數接茪@個數地排列起來。有些數列,數與數之間有荅S定的關係,例如上述所提及的等差數列,還有等比數列,即好像1、2、4、8......那樣每兩個相鄰項比例相等的數列,較常見的情形就是細胞分裂時,一變二,二變四那樣。

有些數列則不一定有茼酗珍鰜Y的,比如說,每天吃飯吃了多少錢,一天一天的記荂A可以是一個數列;或者是栽種花草,花草每天的高度,也可形成一個數列;或者是一個地區有多少人口,每年記錄起來,也可以形成一個數列。每個能量度出來的數,在不同的時間有所變化之後,也可以看成是一個數列。數列就是這樣的生活化,不止是數學題裡才出現,而是身邊四處都是。

斐波那契數列較出名

數列中有一個特別地出名的,就是斐波那契數列(Fibonacci sequence),即1、1、2、3、5、8、13......除了頭兩項以外,每個數都是前兩項相加。數學化一點地表達,就是a1=a2=1,an=an-1+an-2,其中n?3。這個數列若是仔細講起來,是很長篇的,網上有許多相關資料,有興趣的讀者可以找找看,以下只就一些比較有趣易懂的來說說。

斐波那契數列的通項是[an=] [1][2n 5] [[(1+ 5)n-(1- 5)n]]  。單看這條式是比較陌生的,既有根式,又有次方,跟那個an=an-1+an-2的簡單模樣相差甚遠。用計算機來驗算一下,就可以知道這算式是很可信的。

這個數列在奧數範疇中,有什洵袺鰝滌暋D呢?以下正有一道挺有趣的題目。

問 題

由地面上樓梯時,每次可以上一級或者兩級樓梯,那洶W到第十級樓梯時,共有多少種上樓梯的方法?

(說明:比如上到第四級樓梯,可以是每次一級地上4次,記為。又可以是一步兩級,兩步一級,記為2+1+1。類似地,還有1+2+1,1+1+2和2+2,因此共有5種上樓梯的方法。)

答 案

設到第n級的上樓梯方法有bn種。

由第一級開始考慮,只可以一步上去,因此b1=1。

第二級方面,可以兩步一級,或一步兩級,因此b2=2。

之後對於普遍第n級來說,就是先到第(n-1)級然後再上一級,或者先到(n-2)級再上兩級的總數,即bn=bn-1+bn-2,其中n?3。

這個除了首兩項外,跟斐波那契數列完全一樣。由此可推出由一至十級的上樓梯方法依次為1、2、3、5、8、13、21、34、55、89,求得答案為89。

另外,再由斐波那契數列的通項,不難知道普遍的上n級樓梯的方法有多少個,即[bn=an+1=] [1][2n+1 5] [[(1+ 5)n+1-(1- 5)n+1]]  。

結 語

數列這個概念,很數學化地說可以說得很深入的,若是生活化一點看,也可以是挺親切的。初學時在生活中多點留意到數列的存在,多了意識,然後再讀一點更深入的數學,也就多了具體例子,多了聯想,那樣抽象的規律背後,也多了現實例子,對學習也有益處。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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