走在大型商場裡，低頭看看腳下，有着各式各樣的地板，有方形的，有三角形的，也有着釵h不規則的圖形。用各種幾何形狀，密鋪一個地面，就是數學上的密鋪平面問題。
若是考慮各種幾何形狀皆能使用的情況，可以很複雜，先討論只用一種正多邊形密鋪平面的情況。能密鋪平面的幾何形狀，有什麽特性呢？考慮最簡單的正方形的情況，若是4個正方形拼在一起，那麽它們的四邊會在同一點重疊（圖一），而在該點的內角，總和是360o。凡是能密鋪平面的情況，都必須滿足各形狀交點周圍的角總和為360o的條件。進一步來說，那麽除了正方形以外，還有什麽正多邊形能密鋪平面？
問 題
若只用一種正多邊形密鋪平面，那麽這些正多邊形可以是多少條邊？
答 案
設正多邊形有n條邊，而重疊的點周圍有k個正n邊形，那麽考慮內角總和時，有如下算式：
[(n-2)×180o] [n][×k=360o]
其中[(n-2)×180o] [n]為正n邊形一隻內角的大小。算式化k為主項，得如下算式：
[k=][2n] [n-2]
要留意由於k是正n邊形的個數，因此是正整數，但等號右邊是分數，看來答案還是不太明顯，於是要用到一點數學技巧。
[k=][2n] [n-2][=][2n-4+4] [n-2][=2+][4] [n-2]
若是k為正整數，則[4] [n-2]為整數，即是4的因數，因此n-2只能是1、2或4，而n只能是3、4或6。若是思考得仔細的讀者，可以想想為什麽4的負因數不用考慮，這裡就不詳述了。
原來能密鋪平面的正多邊形，就只有正三角形、正方形和正六角形。正方形的情況在圖一中已經有了，正三角形和和正六邊形的情況見圖二。
奧數與體制課程互補
回顧一下解題中的關鍵，原來是用到了n和k都是正整數的性質，在代數的移項後，k能表示為 ，即一個整數和分數式之和，然後再由整除性得知n的可能值。再反省一下這道題目原先是在問什麽的，其實是圖形上的密鋪平面問題，看來是跟正整數的整除性是毫不相干的事情。
這道題顯示了數學解決問題時的綜合性。由幾何裡的內角和，到代數的移項和額外加項的技巧，到正整數的整除性，當中橫跨了不同程度的課內課外的數學，展現了數學融通的一面。
奧數有時看來是課外的數學，於是有些學生總覺得一定有很刁鑽古怪的技巧，其實不是必然的，可以只是把不同課題的內容綜合起來，就可以是一道夠難的問題。而學數學本身，亦不鼓勵學生學一課就只懂那一課，而是要學生知道不同課題之間能互通。
課程內的數學為適應不同程度的學生，於是多以一個主題為一課，而練習多數不會太偏離該課的內容，即使有綜合題，分量亦較少。奧數裡綜合題是常態，而且初看之下未必可以知道是否要綜合各樣，或者綜合什麽課題也可以沒頭緒。因此，奧數的訓練和課程內的訓練有一定的互補作用，從而學習奧數能突破課程內的思維，數學能力得到進一步的提升。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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