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【奧數揭秘】密鋪平面的方式

2017-05-25

走在大型商場裡,低頭看看腳下,有茼U式各樣的地板,有方形的,有三角形的,也有茬多不規則的圖形。用各種幾何形狀,密鋪一個地面,就是數學上的密鋪平面問題。

若是考慮各種幾何形狀皆能使用的情況,可以很複雜,先討論只用一種正多邊形密鋪平面的情況。能密鋪平面的幾何形狀,有什炫S性呢?考慮最簡單的正方形的情況,若是4個正方形拼在一起,那洛早怐漸|邊會在同一點重疊(圖一),而在該點的內角,總和是360o。凡是能密鋪平面的情況,都必須滿足各形狀交點周圍的角總和為360o的條件。進一步來說,那為ㄓF正方形以外,還有什洛縝h邊形能密鋪平面?

問 題

若只用一種正多邊形密鋪平面,那炯o些正多邊形可以是多少條邊?

答 案

設正多邊形有n條邊,而重疊的點周圍有k個正n邊形,那泵瓞{內角總和時,有如下算式:

[(n-2)×180o] [n][×k=360o]

其中[(n-2)×180o] [n]為正n邊形一隻內角的大小。算式化k為主項,得如下算式:

[k=][2n] [n-2]

要留意由於k是正n邊形的個數,因此是正整數,但等號右邊是分數,看來答案還是不太明顯,於是要用到一點數學技巧。

[k=][2n] [n-2][=][2n-4+4] [n-2][=2+][4] [n-2]

若是k為正整數,則[4] [n-2]為整數,即是4的因數,因此n-2只能是1、2或4,而n只能是3、4或6。若是思考得仔細的讀者,可以想想為什4的負因數不用考慮,這裡就不詳述了。

原來能密鋪平面的正多邊形,就只有正三角形、正方形和正六角形。正方形的情況在圖一中已經有了,正三角形和和正六邊形的情況見圖二。

奧數與體制課程互補

回顧一下解題中的關鍵,原來是用到了n和k都是正整數的性質,在代數的移項後,k能表示為 ,即一個整數和分數式之和,然後再由整除性得知n的可能值。再反省一下這道題目原先是在問什洩滿A其實是圖形上的密鋪平面問題,看來是跟正整數的整除性是毫不相干的事情。

這道題顯示了數學解決問題時的綜合性。由幾何裡的內角和,到代數的移項和額外加項的技巧,到正整數的整除性,當中橫跨了不同程度的課內課外的數學,展現了數學融通的一面。

奧數有時看來是課外的數學,於是有些學生總覺得一定有很刁鑽古怪的技巧,其實不是必然的,可以只是把不同課題的內容綜合起來,就可以是一道夠難的問題。而學數學本身,亦不鼓勵學生學一課就只懂那一課,而是要學生知道不同課題之間能互通。

課程內的數學為適應不同程度的學生,於是多以一個主題為一課,而練習多數不會太偏離該課的內容,即使有綜合題,分量亦較少。奧數裡綜合題是常態,而且初看之下未必可以知道是否要綜合各樣,或者綜合什狠疰D也可以沒頭緒。因此,奧數的訓練和課程內的訓練有一定的互補作用,從而學習奧數能突破課程內的思維,數學能力得到進一步的提升。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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