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【奧數揭秘】略說無窮現象

2017-06-14

中學時學會了根式的運算,單是化簡,又要做質因數連乘式,加減乘除時也有許多考慮,相當麻煩。

若是根式裡又有根式,那還真是挺恐怖,例如化簡[3+2 2]  ,也不是許多中學生一看就懂的事,這個有興趣的讀者可以試試,答案是[1+ 2] 。

上面講的根式,也不過是根式之中多了一個根式而已,看了已經有點複雜,若是根式之中不斷還有許多個根式,那倒是難做得很。這個普遍來說也是的,只是也有些情況做得到的,頗為好玩。

問 題 一

答 案

這個看來還真神奇的,一直開方下去,究竟有沒有數值,其實也不易理解的,不過大體上來說,根式裡有1加多一點點什活A那洶j概整體也是比1大的。為了討論方便,不妨設x= [1+ 1+ 1+ 1+...]    。

解題關鍵就在於留意到根式之中,其實也是x的樣子,於是有[x= 1+x] 

從而可以移項解方程,得如下算式:

[x2-x-1=0]

[x= ] [1± 5][2] 

由於x為根式,必然非負,因此[x= ] [1+ 5][2] 。

中學課程解「無窮」足夠

剛剛解一元二次方程[x2-x-1=0]時用到了公式,那是高中的內容,若是奧數就要初中就懂。普遍對於一元次方程[ax2+bx-c=0],其中[a≠0],普遍解為

[x= ][-b± b2-4ac][2a]  

解題當中,留意到有個特點,就是根式之中有x的形式,於是把根式之中部分也當成x,這裡用到了一個想法,就是根式之中有無窮無盡地延伸下去的特性。因此根式內還不斷有根式在其中。這當中有個無窮的概念。

無窮的概念在數學中的現象是有點特別的,以下拿中學課程中的一些例子說明一下。

無窮的概念在中學數學裡,初中階段有循環小數的討論,比如[0.4444...= ][4][9] ,化成分數的過程中,設y=0.444...,那活G

10y=4.444...

10y-y=4

[y=][4][9] 

這過程中,也有0.444...這個循環小數後邊有無窮個4這特點,因而10y-y可以完全消去了小數部分。留意到這裡的y的小數點後有許多個4,而10y的小數點後明明少了一個4的,因為乘10後有一個4去了個位,而消去小數部分的過程中,把y和10y小數點右邊的4當成一樣多的,究竟y和10y小數點右邊的4是差1個還是一樣多?這是無窮的概念特別的地方。

高中階段,有無窮個幾何數列的項求和的過程,比如[1+ + + +...=2][1][2] [1][4] [1][8] 。等式左邊若是有限個加起來,總是比2小一點點,再多幾個也好,還是比2小一點點,但加起來,就是2了,好像有點跳了一些步,這個若有若無的一點點差異,當中有個無窮的概念。

以上兩個例子,可以看到無窮是有點特別的,循環小數乘了10,小數點右邊明明少了一個4,又當成了跟未乘10時一樣多。或者是[1+ + + +...][1][2] [1][4] [1][8] 之中,無論怎樣加,怎樣還是差一點點,但又當成了那點很小很小的差異不存在,這就是無窮的概念在數學中的奧妙之處了。

這些無窮的概念怎樣理解,就不是奧數的範圍可以詳述的了,而事實上中學的理解和大學數學系的理解也會略有差異,有興趣的讀者可以找微積分的歷史和一些分析學的書看看。在中學階段,教科書中對於無窮的理解是足夠好的,以上只是指出一些現象當中還可以進一步探索的地方,不作進一步探究亦無礙課內的學習,這個要留意。

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