夏天的日子，天氣熱熱的，久不久開水龍頭洗個臉，挺舒服。現在有自來水真是方便得很，即使制水，不到半天又會回復了。有時候聽聞長輩講起幾十年前的香港，有大規模制水的時刻，那時酷熱天氣之下，一個個家庭主婦帶着小孩，大桶小桶的拿着，去盛水煮飯，好像是很遙遠的地方。
這次談水桶盛水的問題，比如有兩種水桶，一種5公升，一種3公升，若果盛水時只會盛到最滿，容量都是整數公升，是不是什麽容量都可以由5公升的水桶和3公升的水桶組合出來？比如23=5×4+3，就知道對於23公升的，只要4個5公升的桶和1個3公升的桶就可以了。
初步想來，不難發現容量太小是有些不可行的，最明顯的當然是1公升和2公升的情況。不過越數越大之後，漸漸會發現，可行的越來越多了。比如剛剛提到23公升的，一直試下去，都會是可行的。這中間好像有個關鍵的數字，過了之後就一直做得到。
把題目數學化地說，就是對於容量M，都可以寫成5x+3y，其中x和y都是非負整數。
問 題
證明對於M⩾14，M=5x+3y都有非負整數解。
答 案
若是一個個M去討論，固然可以幫助探索一下普遍的規律，但要做到還是要有系統地分析的。
以下嘗試將M用5的餘數做分類，下列的所有k都是非負整數，不再重複說明。
若M=5k，明顯成立。
若M=5k+1，M=5(k-1)+3×2。
若M=5k+2，M=5(k-2)+3×4。
若M=5k+3，M=5(k-3)+3×6。
若M=5k+4，M=5(k-1)+3×3。
理解推論思路 始明白作者鋪排
以上各情況，初步看來，好像什麽樣的M都可以寫成5x+3y的樣子，但當中還是有限制的，這個小心注意。要留意等號右邊的括號，全部都要是非負整數才行。比如M=5(k-3)+3×6之中，k至少是3。由這個做起點，得知若k=3，即M=5×3+3=18或之後的所有正整數M，都能寫成5x+3y的形式。
再進一步看看，就是對於k=2時，除了M=5k+3那一行不成立之外，其他都能成立，因此對於M=5×2+4=14或之後的所有正整數M，都能寫成5x+3y的樣子。這就完成了證明。
以上解題的段落中，看到了很多說明思路怎樣前進的句子，也不時有提到許多要注意的重點和關鍵之類。這個若是隨便拿本奧數書看，一個證明裡，有時只披露了那個步驟是怎樣發展，沒有加以說明那個想法是怎樣來的，這是常見的。
這正是閱讀數學證明其中一個難處，就是不理解別人為什麽這樣鋪排。這種不解在初學時是有點嚇怕人的，也多少令人止步的。
我看解決這困難的方法，就是先要求自己基本理解到證明中的邏輯推論是正確的，一直沿着作者的思路走，至於為什麽這樣鋪排，可以在完整理解後才回顧，看看能不能解答。
好像剛才的題目，一開始時就着5的餘數做分類，初初看來也許是不明所以的，但M的形式分類好了，卻成了解題的關鍵。先基本看完了證明，回頭看看就明白多了。
閱讀數學證明不時都會遇上一些作者的神來之筆，不少都是苦思冥想之中得來，不容易一眼看穿怎樣想出來的，直至有了全盤理解，才多少猜得出怎樣得出那個頭緒，也有看完了全部也只有讚嘆的份兒，至於怎樣想也是無法模仿的。
數學博大精深，奧數雖是小道，亦頗有奧妙之處，學習時需要很多謙卑才學得好。 ■張志基
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