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【奧數揭秘】六人行尋規律

2017-11-08

6個人走在一起,在數學上可以看得出什麼特徵呢?簡單一點看,會知道當中總有至少3個男性或者3個女性。

或者是若果兩人之間互相認識對方的時候,互相握手,握手次數是[6×5] [2][=15]次。任意6個人走在一起,原來隱藏了一點點必然的規律。

這次介紹一道奧數的著名題目,講講6個人之中,還有什麼必然的規律。

問 題

6人之中,必有3人互相認識,或3人互不認識。試證明。

答案

在圖一中,6人用6點表示。若是互相認識,就在兩點之間連一直線。考慮由點A連線到其他5點,當中必然有至少3點有連線,或者至少3點沒有連線。

考慮有3點有連線的情況,稱這3點為B、C和D。若這3點之中有連線,比如B和C相連,則A、B和C之間就互相認識。

否則,若果B、C和D之間都沒有連線,則B、C和D之間彼此互不認識。

另外,至少3點沒有連線的部分,亦可作以上類似的推論,因此問題所述的得到證實。

有廣度有深度 夠淺白成經典

這個問題的情景是很簡單的,就是任意6個人,已經有這樣普遍的規律,而且結論還不是很明顯的。剛才這一道問題,在奧數裡是很著名的,基本上在中學奧數上鍛煉了兩三年的,總會聽過這道問題。

數學裡這是圖論的問題,相關的是拉姆塞理論。若是把題目的情景看得普遍一點,問到有多少個人,才可以令到當中必有p個人互相認識,或q個人互不認識,那炯o個跟p和q相關的數,可記為R(p,q),稱為「拉姆塞數」。

數學理論要看的話,當然可以有很多很多,不過初時興趣倒是未必足夠。先學會欣賞一下這道數學題,覺得它真個厲害了,才有足夠的興趣去深入鑽研。

問題其中一方面的好處是情景很普遍。學生走在學校裡,隨便找6個人,有這樣的規律;在街上,隨便6個人,也有這樣的規律。或者是6部電腦,總有3部之間互相連繫,或者3部之間彼此互不相連。這樣的問題應用範圍有廣度。

另一方面,問題的推論也是深刻的。單單就茩銴~討論的題目本身,若不是先點出結論叫人證明,自行發現這個規律,是有難度的。

還有的是,若果人數多了,要判定有多少人互相認識,或互不認識,是頗有難度。這是問題深入的一面。

除此以外,這個問題既有廣度,亦有深度,但內容談起來,還是數學專科以外的人能了解個大概的,這有它問題淺白的一面。

數學裡精彩的結果是有很多的,但不少都套上了大量數學術語,不是受過大學數學訓練的人,不易理解。

這個問題大概就是由於它的問題淺白,應用廣泛和推論深入,令到它成為奧數經典問題之一。

奧數作為中小學生到數學理論之間的橋樑,有不少類似的著名問題,令到學生感受到數學的魅力,從而有進一步深入鑽研數學的動機。這是奧數的吸引之處。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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