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【奧數揭秘】奇數與偶數

2017-10-25

數學中談到奇數與偶數的時候,還真夠多的,想起來都是很小的時候就懂了,差不多小一小二左右吧,那時候記茤_數偶數的字眼,不時都會弄錯的,又會把單數雙數的字眼混淆了,然後小五小六時學英文,odd和even的時候,又會弄錯。當然,大部分同學錯得幾次,最後總會記住了。

這次談談關於奇數和偶數的一個問題。

問 題

在圖一中,5條線段共有10個交點,若把交點填上紅色或藍色,問能否有一種填色的方法,使得每條直線上的紅點數都為奇數?

探 索

先把一條線上的點染上紅色試試看。一條直線上有4點,若是奇數,必是1或3,填上了1點紅色和3點藍色,跟3點紅色和1點藍色。

先考慮填上1點紅色的情況。試試把其中一點填上紅色,不難發現它會影響到兩條線上的紅點數。反過來說,當數茖C條線上有多少紅點的時候,每點會被數了兩次。試了幾次,發覺好像太不可能。

答 案

原來的確是不可能的。原因是若果5條線上都有奇數點為紅色,那5個奇數的和就是奇數,但是由於每點必然被數了2次,因此加起來必是偶數,矛盾。

嚴謹論證 打破「不可能」思維

解釋聽來也挺簡單的,只用奇數和偶數的討論,就洞察到不可能。不過這個簡單的解釋,在初學奧數的學生來說,還是不易講得出來。

在日常的思維來說,人們試了幾次覺得做不到,就會覺得不可能的,較少會用邏輯去論證這件事的可能性。因此平常的事情能不能做到,若是用邏輯去推理和探究的話,結論可能會跟憑感覺去判斷不一樣,也可能跟憑經驗或隨意去嘗試時不一樣。就是有時結論可能一樣,但推理時嚴謹的程度也會有分別。

數學證明之所以重要,其中一個原因是因為無論試了多少次失敗了,若不是窮盡了所有可能,總是不能確認下一次能否成功,要確認這個結論的是非,不能只在多次嘗試的失敗後,就斷言它不可能。

學數學時其中一個重點,就是如何在嘗試中體會到經驗上不可能之中,進一步能做出邏輯上的論證,這個並不是多做幾題數就練得出來的,要學生主動去改變思考方式。

奇數和偶數和相關的問題,經常都會引出學生輕率的心思,因為答案往往不是奇數就是偶數,錯了一次總能得到正確答案的,於是人就輕率起來。由輕率地嘗試,錯了就改答案;到可以嚴格地說清楚每個細節,找到嚴謹的論證,這不是一朝一夕的事,是要學生在平常練習時自行練出來,要持久而認真的態度才可以養成這個邏輯思維。

做數學題,或者生活上的判斷,不時都只有是和不是兩個選擇,背後的思想有多認真,推理有多嚴格,這個思考的態度,就會影響長遠做決定時是不是正確比較多,還真不是可以馬虎的事情。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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