做一些幾何題目，若是沒什麽數字，條件也很任意，要是在這些看來隨意的資料中，找到一些固定的規律，會感覺到一點規律帶來的美感。這次談談一道幾何定值的問題。
問 題
已知AB和CD是圓O上兩條固定的直徑，而P為圓周上任意一點，PM⊥AB於M，PN⊥CD於N，求證MN的長度不變。
答 案
留意到∠PMO=∠PNO=90。，得∠PMO+∠PNO=180。，得知M、N、O、P四點共圓，而且OP為直徑。另外，這個圓亦是△MNO的外接圓。
由正弦定理得知，[MN] [sin∠MON][=OP]
MN=OPsin∠MON
由於OP和∠MON都是固定的數值，因此MN亦為固定的數值。
軟件量度省時更生動
證明裡用到的知識，包括4點共圓，圓的直徑和圓周角的關係，正弦定理等等，都是高中課程內的東西。
不過在奧數的範圍內，中二三左右就要懂。不然這些基本知識不具備的話，探索難題時，方法少了一大截，很快就會想不出什麽來。而且奧數還有一小部分課外知識，又要混合來使用，而且又要推得深推得遠，因此高中課程內的知識還是及早具備的好。
剛才這道數學題，是講幾何定值的，就是當中的P點不論在什麽位置，這個MN的長度總是不變。這個結果，若不是論證一番，還真不易知道是真確的。不過在論證之先，也可以在電腦軟件上欣賞一下這些結果。
現在網上的免費幾何軟件是有不少的，除了基本的作圖外，部分軟件還可以量度線段的長度和角度的大小。比如剛才的幾何定值問題，用軟件量度MN的長度，並移動P點，那樣在過程中，會發覺無論怎樣移動，MN長度都不變（見圖二）。
這個結果在論證中固然看到了，但是真個在圖形上見到，在變化之中看到量度出來的長度不變，那又是別樣的趣味。
幾何定值問題，若是用紙和筆計算和論證，有時好像硬繃繃的，也有點抽象，但在軟件中看到的卻是生動多了，比較感受到那種規律的美感。
奧數的比賽之中當然不可以用軟件的，只是平日在家探索幾何問題的時候，使用一下幾何軟件，就可以對圖形的關係有多點了解。比如猜想某個角度在變化中是否固定數值，就可以用軟件量度出來，若是角度在變化中保持不變，那樣證明時就有信心了。
要是單用紙和筆來計算，或者作圖，就太花時間。
另外，有了軟件來量度各種長度和角度大小，也容易洞察到一些問題沒有提及的關係，加深對圖形的了解。
奧數的學習過程中，固然可以單用紙和筆去計算和推論，不過若是在練習時配合一些電腦軟件，就可以加深對題目的了解，見到一些單用紙和筆難以見到的結果。在軟件的使用之中，也會特別清晰地見到變化之中的規律，提升學習興趣。
在平日的探索之中，對幾何圖形的了解加深了，興趣大了，長遠來說學習動機強一點，也會漸漸加強了能力。善用幾何軟件，是學習幾何其中一個好的方法。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
逢星期三見報