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【奧數揭秘】略談奧數意義

2018-02-14

筆者在這專欄上寫了一段日子,一直以來希望做到的,是讓讀者能在一些較淺近的奧數題之中,見到一些奧數與課程內的數學的分別。有時也會問自己,那些題目會不會過淺?事實上,奧數可以很深很複雜,一個課程內讀得好的學生,隨便在書局找本中學奧數書,一打開,感覺可能就是自己永遠也不會弄得懂。

談起奧數,難題易找,怎樣說得別人明白,才是最難。能夠按蚞ル耵熊{度,給予適當難度的挑戰,才是數學教育的關鍵。

這次分享一題國際數學奧林匹克(IMO)的題目。這個層次的題目是4.5小時內做3題,也就是平均1.5小時做1題。

一般在技巧上,大眾難以理解,但這一題只用到了課程內中四的配方法和中二的痤它﹛A較為簡單,因此值得分享。然後略談奧數的源流和意義。

問 題

證明:存在無窮多個自然數a,使得數z=n4+a對於任意自然數n均為合成數。

答 案

設a=4k4,其中k為大於1的自然數。那

z=n4+4k4

=(n2)2+2.n2.2k2+(2k2)2-4n2k2

=(n2+2k2)2-(2nk)2

=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)

由於z能寫成兩個數相乘,只需要證明這兩個數都大於1,z就是合成數。事實上n和k都是自然數,n2+2k2+2nk必大於1,而n2+2k2-2nk=(n-k)2+k2>1,因此z是合成數。

這樣只需要取不同的k,就有不同的a=4k4,滿足條件。因此有無窮多個自然數a,使z=n4+a對任意自然數n均為合成數。

累積比賽經驗 鍛煉解難毅力

這一道是1969年的題目,比賽地點是羅馬尼亞,剛好亦是1959年第一屆國際數學奧林匹克(IMO)舉辦的地方,之後差不多每一年都舉辦,是數學競賽中的盛事。早前2016年的國際數學奧林匹克在香港舉辦,受到大眾關注。

奧林匹克數學,簡稱奧數,一般泛指數學競賽。內容本身沒什洛縝〞熙W定,但傳統上主要為數論、組合數學、數列、不等式、函數方程和幾何等,普遍不涉及微積分。在奧數學習的過程中,主要是解難的訓練,要求學生有較高程度的洞察力和創造力。有別於課程內常規的題目,奧數是非常規題目佔大多數。

近20多年來,香港逐漸多了各式各樣的數學競賽,程度各有不同,有些是個人賽,有些有團體合作的部分。坊間的比賽雖然多,但相對而言,奧數培訓的機構就少了。

香港數學奧林匹克學校由1995年成立起,培育數學尖子多年,學生之中亦有一些後來成為了國際數學奧林匹克的香港代表。也有些成為教練,或在大學任教,繼續栽培學生研習數學。

學生時代,由一個課程內的尖子,到成為學界精英,當中的路很漫長。若是缺乏一些有經驗的老師帶領,往往會不得其門而入。這條路上很需要一個有系統的課程,各個層次的評核,各式各樣的比賽,去令學生在成長中得到肯定和累積比賽經驗。

奧數培訓的意義,並不止於在比賽中得到獎項,更在於開拓學生的眼界,鍛煉解難的毅力,促進他們之間的交流;亦可以鞏固課內數學的基礎。在奧數上有一定能力的學生,常會感到課內的數學輕而易舉。這是學奧數的一大好處。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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