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【奧數揭秘】測驗計分問題

2018-02-28

大多數考試或測驗都是「答對有分、答錯或不作答沒有分」。有時若想要求學生不肯定時不亂試答案,就會「答錯扣分、不作答不扣分」。

這些分數有高有低,看來很隨意,沒什麼特別,但真個仔細數起來,原來還有點細節。

問 題

測驗卷共有100道選擇題,每題答對得4分,不作答得0分,答錯得-1分。這測驗有多少個不同的總分(可以負分)?

答 案

明顯地,若全部題目答錯,那洸珣o總分是-100分,而全對則是400分。由-100至400分,當中的分數普遍都是能拼合出來的,例如-10分,就是答錯10題,其餘題目不作答。

又例如94分,就可以是答對24題、答錯2題、其餘不作答,那麼總分就是24×4-1×2=94。

不難發現,若分數是4的倍數,那是必然能拼出來的;若分數比4的倍數少一點,則可能答錯1題至3題,就可以拼出其餘的分數。這個規律到了答對97題(4×97=388分)時仍然是可行的。

可是到了4×98=392分,餘下2題,如果兩題都答錯,得392-2=390分;如果一題答錯一題不作答則有392-1=391分;389這個分數卻無法拼出來。

同理,到了4×99=396分時,餘下答錯最多1題,所以只能拼出395分,而393及394都是拼不出來的。

還有滿分400之前的397、398及399也無法拼出來。

因此共有總分400-(-100)+1-6=495分。

題目難度適中 培養學生自信

這題目的巧妙處原來在於有些接近滿分的分數是不可能出現的,它既要求學生數得準確,還考驗學生的細心。

題目情景真實、常見,這些都是值得欣賞的地方。(這道題出自2002年國際數學奧林匹克香港區選拔賽,此賽事一般在5月左右舉行,表現好的學生可以參加國際數學奧林匹克(IMO)的培訓,是香港地區中學數學競賽的年度盛事。)

其實,這道題所要求的基礎知識很少,學生只要懂得什洵O負數,理論上中一生也可以做得對。只是真做起來,高年級的也會錯。學生往往忽略最後的細節,粗心地認為-100至400當中每一個分數都是可以拼出來。

一般來說,香港區選拔賽的題目,對普遍課內讀得好的學生來說都難,若是第一次看那些題目,可能找不到一題半題知道怎樣開始。

日積月累,學生都「預期」所有比賽問題都是艱深的,就是有個別比較淺的問題,也未必留意到,甚或不夠信心做到底。

數學培訓的重點,就在於挑選一些夠高程度的題目,而又剛好適合學生去挑戰的,從中培養學生的自信心。若學生在難題之中獨個兒摸索,過程艱苦,當中會有不少沮喪的時刻;相反,若探索路上有老師同行,學生走起來就輕鬆多了。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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