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【奧數揭秘】活用抽屜原理 分類揀出元素

2018-09-19

在1至10這10個自然數裡,抽出6個數,這堆數當中可以有什狩邞疑鰜Y呢?例如可以是必有一個單數和一個雙數。還有沒有其他關係呢?若是思索下去大概有不少的,以下要證明的就是其中一個。

問題

在1,2,3,...,10這10個數中,取出6個。證明:必有兩個數,其中一個是另一個的倍數。

答案

將數字分成5組:{1,2,4,8},{3,6},{5,10},{7},{9}。若是取出6個數,必有兩個數同在一組中,而最後兩組只有1個數,因此必有2個數同在前三組中的其中一組裡。而前三組裡,每兩個數之間,較大的數都是較小的數的倍數。因此命題得到證實。

回顧剛才解題的過程,主要就是用到抽屜原理。所謂抽屜原理,就是好像把4個蘋果,放在3個抽屜裡,則必能保證有一個抽屜至少有2個蘋果。這意思挺簡單的,只是應用起來時,什麼是蘋果,什麼是抽屜,也不是輕易知道的。比如剛才的題解,把10個數考慮作蘋果,然後分作5個抽屜,那麼6個數中,就必有兩個數在同一抽屜中。

只是還得要思考,怎樣把10個自然數分組,可以使得同一組之中,每兩個數之間,必然有一個數是另一個數的倍數呢?這個還得要嘗試一下,才得知怎樣做得到。

看到這裡,也就正正說明了,原先為什洎n分類成5組,也明白了那5組為什洵O這樣。首先,要用抽屜原理,6個數中有2個有關,就要分5組,使得有2個在同一組,而同一組之間必然需要任意兩個數有倍數和因數的關係。

明白了這個,也不難知道那個分組的方式並非唯一的,比如還可以分成:{1,3,9}, {2,4,8}, {5,10}, {6}, {7}。

抽屜原理在最基礎的意思上,是簡單到不得了的,只是應用起來,有兩個難處。一是它簡單到令人很易忽略,二是即使明知要用的時候,如何分類也是要一番思索,並不經常是有很明顯的線索可以依循的。

原本意思很簡單的抽屜原理,應用上可以是很廣泛的,基本上,凡是把一大堆東西作分類的時候,都可以由抽屜原理推論出必有其中一類有相當多的元素。這種分類是可以很任意的,比如一開始談起1至10這10個自然數,若是考慮5組連續數:{1,2},{3,4},{5,6},{7,8},{9,10},則可以推出6個數總有2個連續數。

若是按荌ㄔH5的餘數作考慮,則為{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10},則可以推出6個數總有2個數除以5所得餘數相同。按茪ㄕP的分類,就可以推論出各樣的結論,而且是取之不盡的,不過想起原本的道理,還不過是簡單的抽屜原理而已。要是考慮的範圍不止1至10,而是更多元化的對象,那意思就更豐富了。

在數學裡,許多時簡單一句定理,在應用之間,可以有無窮變化,只有在練習推論的過程中,養成良好的邏輯能力,才可以一步步發現到定理之中隱藏的意味,才明白當中深遠的意義。

這當然遠比背了基本的意思難得多,但得到的卻是豐厚多了。■張志基

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