在1至10這10個自然數裡，抽出6個數，這堆數當中可以有什麽樣的關係呢？例如可以是必有一個單數和一個雙數。還有沒有其他關係呢？若是思索下去大概有不少的，以下要證明的就是其中一個。
問題
在1，2，3，...，10這10個數中，取出6個。證明：必有兩個數，其中一個是另一個的倍數。
答案
將數字分成5組：{1,2,4,8},{3,6},{5,10},{7},{9}。若是取出6個數，必有兩個數同在一組中，而最後兩組只有1個數，因此必有2個數同在前三組中的其中一組裡。而前三組裡，每兩個數之間，較大的數都是較小的數的倍數。因此命題得到證實。
回顧剛才解題的過程，主要就是用到抽屜原理。所謂抽屜原理，就是好像把4個蘋果，放在3個抽屜裡，則必能保證有一個抽屜至少有2個蘋果。這意思挺簡單的，只是應用起來時，什麼是蘋果，什麼是抽屜，也不是輕易知道的。比如剛才的題解，把10個數考慮作蘋果，然後分作5個抽屜，那麼6個數中，就必有兩個數在同一抽屜中。
只是還得要思考，怎樣把10個自然數分組，可以使得同一組之中，每兩個數之間，必然有一個數是另一個數的倍數呢？這個還得要嘗試一下，才得知怎樣做得到。
看到這裡，也就正正說明了，原先為什麽要分類成5組，也明白了那5組為什麽是這樣。首先，要用抽屜原理，6個數中有2個有關，就要分5組，使得有2個在同一組，而同一組之間必然需要任意兩個數有倍數和因數的關係。
明白了這個，也不難知道那個分組的方式並非唯一的，比如還可以分成：{1,3,9}, {2,4,8}, {5,10}, {6}, {7}。
抽屜原理在最基礎的意思上，是簡單到不得了的，只是應用起來，有兩個難處。一是它簡單到令人很易忽略，二是即使明知要用的時候，如何分類也是要一番思索，並不經常是有很明顯的線索可以依循的。
原本意思很簡單的抽屜原理，應用上可以是很廣泛的，基本上，凡是把一大堆東西作分類的時候，都可以由抽屜原理推論出必有其中一類有相當多的元素。這種分類是可以很任意的，比如一開始談起1至10這10個自然數，若是考慮5組連續數：{1,2},{3,4},{5,6},{7,8},{9,10}，則可以推出6個數總有2個連續數。
若是按着除以5的餘數作考慮，則為{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10}，則可以推出6個數總有2個數除以5所得餘數相同。按着不同的分類，就可以推論出各樣的結論，而且是取之不盡的，不過想起原本的道理，還不過是簡單的抽屜原理而已。要是考慮的範圍不止1至10，而是更多元化的對象，那意思就更豐富了。
在數學裡，許多時簡單一句定理，在應用之間，可以有無窮變化，只有在練習推論的過程中，養成良好的邏輯能力，才可以一步步發現到定理之中隱藏的意味，才明白當中深遠的意義。
這當然遠比背了基本的意思難得多，但得到的卻是豐厚多了。■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
香港數學奧林匹克學校
逢星期三見報