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【奧數揭秘】托勒密定理

2019-02-27

幾何裡有些定理,課程內是較少提及的,奧數裡則會講到,例如托勒密定理。定理是這樣的:

托勒密定理:對於圓內接四邊形ABCD,AB.CD + BC.DA = AC.BD。(圖一)

若是用文字來描述這定理,就是圓內接四邊形的兩組對邊之積,加起來等於對角線之積。

這定理牽涉的四邊形,四個頂點共有六條線,它描述了這些線段的長度關係,而且關係亦是沒什麼額外的數字,簡單易記,可說是非常優美的。定理中的四邊形,要求是圓內接四邊形,對於普遍的凸四邊形,則有AB.CD + BC.DA?AC.BD。看起來只是把等式改了一點點,但看來仍是很簡潔的。

關於托勒密定理的證明,也不難在網上找到的,這裡只想談談它優美的地方和趣味方面。以下分享的一道題,看荇憮砲耵滿A但用上了托勒密定理,就迎刃而解了。

問 題

在等邊△ABC的外接圓上,弧AB之上取一點M。證明:MC = MA + MB。(圖二)

答 案

設AB = BC = CA = a。

由托勒密定理,得MB.a + MA.a = MC.a,因此MC = MA + MB。

這個應用還真夠直接的,不過若是不知道托勒密定理,看茪]覺得不太明顯。看看這題目,是關於等邊三角形的,原來外接圓的弧上取一點,就有這樣的關係,沒人提起真是看許多年也沒發現。奧數有時的趣味,就是那些初等數學、中學數學,太多人想過了,太多人提出過問題了,有些人想出來的結果,可以是簡潔而優美,可以是充滿驚奇,是自己看了許多年也沒察覺的。

題解裡看來很直接的應用,其實只是寫作時安排到看來直接而已,實際做起來沒那麼簡單的。剛好介紹了一條定理,就談到應用,那人們自然很易想到關係,但是做幾何題的時候,由於學過的定理會愈來愈多,就未必想到這一條托勒密定理,或者是繞了很多圈,才知道用上這條定理就解到。

中學生若是對數學有興趣的,也有些考慮過一下大學時讀不讀數學。奧數裡也有不少大學數學的基礎內容,可以令人開闊眼界。解難方面,奧數能夠培養一個人解難的毅力和心理質素。當然,更直接了解大學數學的方法,可以是找些資優課程,接觸一下大學的講師和教授,或者去書店找找大學書看,這些也有好處,也是跟學奧數方面沒矛盾,可以並行。

奧數裡能夠幫到學生了解自己,在解難上有多大的毅力,例如一道問題做大半小時至一小時,已經覺得太艱苦,又沒有意願在這方面成長的,那麼讀起一些數學理論,自是有重重困難。

奧數裡也能培養學生理解數學證明和論證的能力。因為奧數由中一起,證明題就漸漸變多,怎樣論證是重點的學習方向。另外,若果在奧數上想多學一點,學生難免要看書,在自學之中,會訓練出對數學證明的閱讀和理解能力。這跟平常讀其他文字是有分別的,讀數學書往往要讀得很慢,才看得清楚每個細節,因為細節太多太密了。

數學的世界太大,在奧數裡這個小小的世界,找點趣味,看看一些精彩的結果,看看自己對它的美,有沒有真切的感受,也是明白自己讀起來會不會快樂的參考。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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