幾何裡有些定理，課程內是較少提及的，奧數裡則會講到，例如托勒密定理。定理是這樣的：
托勒密定理：對於圓內接四邊形ABCD，AB．CD + BC．DA = AC．BD。（圖一）
若是用文字來描述這定理，就是圓內接四邊形的兩組對邊之積，加起來等於對角線之積。
這定理牽涉的四邊形，四個頂點共有六條線，它描述了這些線段的長度關係，而且關係亦是沒什麼額外的數字，簡單易記，可說是非常優美的。定理中的四邊形，要求是圓內接四邊形，對於普遍的凸四邊形，則有AB．CD + BC．DA?AC．BD。看起來只是把等式改了一點點，但看來仍是很簡潔的。
關於托勒密定理的證明，也不難在網上找到的，這裡只想談談它優美的地方和趣味方面。以下分享的一道題，看着挺陌生的，但用上了托勒密定理，就迎刃而解了。
問 題
在等邊△ABC的外接圓上，弧AB之上取一點M。證明：MC = MA + MB。（圖二）
答 案
設AB = BC = CA = a。
由托勒密定理，得MB．a + MA．a = MC．a，因此MC = MA + MB。
這個應用還真夠直接的，不過若是不知道托勒密定理，看着也覺得不太明顯。看看這題目，是關於等邊三角形的，原來外接圓的弧上取一點，就有這樣的關係，沒人提起真是看許多年也沒發現。奧數有時的趣味，就是那些初等數學、中學數學，太多人想過了，太多人提出過問題了，有些人想出來的結果，可以是簡潔而優美，可以是充滿驚奇，是自己看了許多年也沒察覺的。
題解裡看來很直接的應用，其實只是寫作時安排到看來直接而已，實際做起來沒那麼簡單的。剛好介紹了一條定理，就談到應用，那人們自然很易想到關係，但是做幾何題的時候，由於學過的定理會愈來愈多，就未必想到這一條托勒密定理，或者是繞了很多圈，才知道用上這條定理就解到。
中學生若是對數學有興趣的，也有些考慮過一下大學時讀不讀數學。奧數裡也有不少大學數學的基礎內容，可以令人開闊眼界。解難方面，奧數能夠培養一個人解難的毅力和心理質素。當然，更直接了解大學數學的方法，可以是找些資優課程，接觸一下大學的講師和教授，或者去書店找找大學書看，這些也有好處，也是跟學奧數方面沒矛盾，可以並行。
奧數裡能夠幫到學生了解自己，在解難上有多大的毅力，例如一道問題做大半小時至一小時，已經覺得太艱苦，又沒有意願在這方面成長的，那麼讀起一些數學理論，自是有重重困難。
奧數裡也能培養學生理解數學證明和論證的能力。因為奧數由中一起，證明題就漸漸變多，怎樣論證是重點的學習方向。另外，若果在奧數上想多學一點，學生難免要看書，在自學之中，會訓練出對數學證明的閱讀和理解能力。這跟平常讀其他文字是有分別的，讀數學書往往要讀得很慢，才看得清楚每個細節，因為細節太多太密了。
數學的世界太大，在奧數裡這個小小的世界，找點趣味，看看一些精彩的結果，看看自己對它的美，有沒有真切的感受，也是明白自己讀起來會不會快樂的參考。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
