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【奧數揭秘】指數與對數

2019-03-27

高中生有時遇上對數的問題,看蚢嚗う漯k則多得很,覺得挺疑惑的。疑惑的感覺主要有幾方面,一是符號比較新鮮;二是法則背後的原因未必理解得很通透;三是練習多了法則,反倒是最基本的定義就忘了;四是看到許多迷惑,練習也覺得困難,錯多了,動力也少了,基本功就不太穩。

其實指數和對數,通常都是連在一起說的,原因也很易理解。想想103 = 1000這道算式,其實就是10、3和1000三個數的關係。如果三個數之中有一個未知,怎樣由其他兩個推出來呢?比如說,什麼的3次方是1000呢?根據指數的定律,就是1000 [3][1] = 10。然後又再問,那麼10的多少次方是1000呢?那就是log10 1000 = 3。這樣看對數,就會覺得發明對數是很自然的事,就是當未知數在指數之上的時候,就需要用對數來求。

這裡也有個小心得可以分享一下,就是log101000 = 3這個特殊例子,可以用來記住對數的含意。事實上,有時當那些對數的底又改變了,又變了許多代數式出來,感覺很混亂,開始搞不清楚什麼底和指數之類,想想這個特殊例子,許多時感覺會明白一點。

對數其中一個令人覺得陌生的原因,是因為它難以直接計算,要用計算機計出來,於是學生很容易對它的數值變得沒什麼概念。事實上,它的數值是有點明顯的意思。

例如觀察log100 = 2,當中的100就有3個位;再觀察log1000 = 3,當中的1000就有4個位。不難看出,凡是3位數,取對數後的值都是2和3之間。也就是說,以10為底的對數值,是跟數字的位數有直接關係的。

問 題

已知log2 = 0.301,那麼240有多少個位?

答 案

考慮log240 = 40log2 > 40 × 0.3 = 12,得知240至少有13個位。另外,40log2 < 40 × 0.302 = 12.08,得知240未夠14個位,因此它只有13個位。

學生談起對數,覺得對數太陌生,又不太知道怎樣用。事實上,在一些應用題裡,也就多少有點用處,只是做到那些應用題時,往往是題目比較長,看荋N不耐煩了,而且也不太會做,因此也沒有深思當中的生活意義。

對數的問題,有一個很實際的情景,就是複利息的問題。比如存入10000元,年利率2%的話,存款年期為t,則本利和為10000 × (1+2%)t。若要知道多少年後可以有一個指定的數目,比如30000,就可以解方程10000 × (1+2%)t = 30000。這當中是會牽涉對數的。

複利息的情景很重要,比如貸款,若果利息是以複利息計算,那個增長很厲害。這個要感受到,就要看圖像了。

圖一裡顯示的是每次增長10%的時候,年期到了十幾年左右,就是原先的5倍,大得很,這個就是指數增長的威力了。那是收入還好,若是支出就麻煩了。

奧數裡對課程內數學的理解,要求很高,要很能融會貫通才行。有時課程內要教得仔細,一章一節地教,學生學起來就覺得太零散,缺乏一個宏觀的視角。若是能力足夠的學生,在奧數裡看到能融會貫通的地方,又有足夠能力去深入計算和解難,那學起來就有個比較完整的系統。這也是學習奧數其中一個好處。 ■張志基

註︰上期「跟平常的三角函數關係cos2(x)-sin2(x) = 1非常相似」,算式應該為cos2(x)+sin2(x) = 1,敬希垂注。

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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