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【奧數揭秘】為什麼小學不用計算機?

2020-06-10

這次分享一道關於對數(logarithm)的問題,之後談談為什麼有了計算機,小學時還要學算術。

談這個問題前,先介紹一下對數的基礎知識。對數的意思,主要就是當問到1000是10的多少次方時,就可以用對數log101000 = 3,即1000 = 103的意思。剛才的1000和10可以改為其他正實數,10的位置稱為對數的底,注意不能是1。若果底為10的話,一般可以忽略不寫。對數堛犒B算法則挺多,要做過習題才會熟練,這奡N不詳述了。

以下的題目主要用到一個性質,就像剛才1000的這個四位數,log101000 = 3;又好像100這樣的三位數,log10100 = 2,而100至1000以下的數,對數值都會是2和3之間。

問 題:7100和11100各為85和105位數,那麼7720是幾位數?

答 案:

由條件得知,

84 ? 100log7 < 85

104 ? 100log11 < 105

設P = log7720 = 20log77 = 20(log7 + log11) = [1][5] (100log7 + 100log11)

[1][5] (84 + 104) ? P ? [1][5] (85 + 105)

37.6 ? P <38

因此7720是38位數。

剛才的題解之中,除了用到之前談對數的性質,還用上了不等式作估計,從而得知P的範圍。這題解的方法,在這些數字來說固然可行,但換一下數字的話,也可能有點小麻煩。關鍵在於P的上限,在這題來說是38,而小於38的,只能是37.6再多些,但若果換了數字,上限是38.4之類,下限仍是37.6,那這樣的估計就未可以確定最終答案是38還是39。所以說,這個方法是有它特殊的地方,並不是一個換了數字也可行的普遍做法。

這個題解的方法固然是特殊的,但也算是一道不錯的綜合題,有適當的難度。事實上,問題本身,在數學上又無需要有太普遍的想法,若果沒考慮它是奧數題目的話,大可以用計算機計算,數字再大一點,也可以用電腦解決。

談起用計算機用電腦的問題,中學生有時回顧起小學的日子,會問為什麼有了計算機還要學筆算,到了見識過可以處理代數和圖像的計算機,又不明白為什麼中學要筆算許多方程。

簡單來說,小學時學懂了算術,之後才可以處理代數,然後才可以有處理公式和解方程的問題。算術的運算,是有代數的交換律、結合律和分配律之類的性質在其中。小學時一步一步,由正整數,到分數,到小數,再結合一些簡單的代數,思想過程就漸漸變得抽象了,對數的理解,是由一些確定的數字運算,演變成未知數的代數運算,那樣的思想是抽象了一個層次。

這樣的抽象是有用的,因為數與數的關係往往用公式表達。比如圓柱體積的公式V = πr2h,說明了體積V,底半徑r2和高度h的關係,這些數與數的關係,是要以代數來說才有普遍的用處,否則一個高度是3厘米,又要討論一番,高度是4厘米,又要討論一番,那就太煩瑣了。

明白了較抽象的代數,就明白為什麼即使有了計算機,還要學生鋪路去學代數規律。事實上,中學的代數之上,還可以有更抽象的層次,只是這些已經是大學數學的內容了,有興趣的讀者可以在網上找找代數的條目看看。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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