這次分享一道關於對數（logarithm）的問題，之後談談為什麼有了計算機，小學時還要學算術。
談這個問題前，先介紹一下對數的基礎知識。對數的意思，主要就是當問到1000是10的多少次方時，就可以用對數log101000 = 3，即1000 = 103的意思。剛才的1000和10可以改為其他正實數，10的位置稱為對數的底，注意不能是1。若果底為10的話，一般可以忽略不寫。對數裏的運算法則挺多，要做過習題才會熟練，這裏就不詳述了。
以下的題目主要用到一個性質，就像剛才1000的這個四位數，log101000 = 3；又好像100這樣的三位數，log10100 = 2，而100至1000以下的數，對數值都會是2和3之間。
問 題：7100和11100各為85和105位數，那麼7720是幾位數？
答 案：
由條件得知，
84 ? 100log7 < 85
104 ? 100log11 < 105
設P = log7720 = 20log77 = 20(log7 + log11) = [1][5] (100log7 + 100log11)
[1][5] (84 + 104) ? P ? [1][5] (85 + 105)
37.6 ? P <38
因此7720是38位數。
剛才的題解之中，除了用到之前談對數的性質，還用上了不等式作估計，從而得知P的範圍。這題解的方法，在這些數字來說固然可行，但換一下數字的話，也可能有點小麻煩。關鍵在於P的上限，在這題來說是38，而小於38的，只能是37.6再多些，但若果換了數字，上限是38.4之類，下限仍是37.6，那這樣的估計就未可以確定最終答案是38還是39。所以說，這個方法是有它特殊的地方，並不是一個換了數字也可行的普遍做法。
這個題解的方法固然是特殊的，但也算是一道不錯的綜合題，有適當的難度。事實上，問題本身，在數學上又無需要有太普遍的想法，若果沒考慮它是奧數題目的話，大可以用計算機計算，數字再大一點，也可以用電腦解決。
談起用計算機用電腦的問題，中學生有時回顧起小學的日子，會問為什麼有了計算機還要學筆算，到了見識過可以處理代數和圖像的計算機，又不明白為什麼中學要筆算許多方程。
簡單來說，小學時學懂了算術，之後才可以處理代數，然後才可以有處理公式和解方程的問題。算術的運算，是有代數的交換律、結合律和分配律之類的性質在其中。小學時一步一步，由正整數，到分數，到小數，再結合一些簡單的代數，思想過程就漸漸變得抽象了，對數的理解，是由一些確定的數字運算，演變成未知數的代數運算，那樣的思想是抽象了一個層次。
這樣的抽象是有用的，因為數與數的關係往往用公式表達。比如圓柱體積的公式V = πr2h，說明了體積V，底半徑r2和高度h的關係，這些數與數的關係，是要以代數來說才有普遍的用處，否則一個高度是3厘米，又要討論一番，高度是4厘米，又要討論一番，那就太煩瑣了。
明白了較抽象的代數，就明白為什麼即使有了計算機，還要學生鋪路去學代數規律。事實上，中學的代數之上，還可以有更抽象的層次，只是這些已經是大學數學的內容了，有興趣的讀者可以在網上找找代數的條目看看。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
