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奧數揭秘:設社區街燈 用數學達高效

2016-11-09

城市裡路上的街燈,每到晚上就亮起來,四處都叫人看得清清楚楚的。相反,一些較落後的地區,大概就沒有那泵h街燈了,夜間都是暗沉沉的,令人害怕。

街燈多一點當然是好的,但是多一盞燈,就多了維修保養的費用。若是對於比較窮的地區,要是數量太大,又是一種負擔。

因此如何規劃一個地區的街燈位置,就是一項影響民生和長遠經濟支出的重要決定了。

燈光網絡「連成線」

通常一個地區,多少是有些固定的建築,是有燈光的,怎樣配合原有的燈光,去設置街燈的位置,也需要一點技巧。

先由簡單的情況開始,比如在圖一中,A和B代表兩幢建築物,圓圈代表建築物內發射的燈光範圍,那樣若是要規劃街燈,就不妨在當中的部分加上另一街燈C,圓形表示燈光的範圍(圖二)。

以下為方便討論,會假設建築物的燈光和街燈的燈光範圍相同,即圓形的半徑一樣。

這樣由A去B的路上,就可以有一條有光的路連結。不妨稱A和B為相鄰的,可以用一條直線連結(圖三)。

一個地區裡,有些地方是常用的,若是想設計到常用的地方,都有燈光照明,那就是要設計一個網絡,令到每兩點之間,都是有一連串的線連茠滿C

那怎樣可以連通所有地方呢?是不是兩點之間不斷加上街燈就行呢?這個也是可行的,至少是能連通,但可能會過多的街燈。

比如圖四之中,若是B和C之間又加街燈,C和D之間又加,那就不如在B和D的中點處加,那樣又可以連結到C點。

這裡可以看出,有些放置街燈的方法,是可以用較少的街燈連通更多的地方。有沒有一個普遍的放置方式,可以用最少的街燈連通所有地方呢?這個問題若是能答固然是好的,但實際上也不必然要找到最少才是好的,現實中只需要比較少就已經不錯了。

問 題

在圖五中有4幢建築物,如何設置最少數量的街燈去連通它們?

題 解

A和B之間至少要一支燈,C和D之間也要一支,問題是AB和CD兩組之間要多少支燈。其實也只是一支就夠了(圖六),因此最少要設置三支街燈就能把這四幢建築物連通。

這個若是用網絡來表示,就可以如圖七所示。為什洎n化成網絡圖呢?因為把建築物連通的情景中,其中一個主要問題,就是怎樣由一個地方以最短路徑去另一地方,而網路圖的其中一個著名的問題就是最短路徑問題,若圖形不太複雜的話,是有現成的電腦軟件可以找到最短路徑的。若是在圖七中,各線段都標示了路線的長度,那樣就可以找不同地方之間的最短路徑。

小 結

在實際情況下,街燈的設置也不只以上那玲眾瑼滿C比如建築物的燈光有大小之別,用圓形表示燈光範圍時,半徑也有分別;除了想連通各建築物外,還可能會想把燈光的照明範圍變得盡量大;還有要考慮的是若果某些街燈壞了,會不會對整個網絡有很大影響,比如完全切斷了地區的兩邊。

以上實際的考慮,在應用時是有現實意義的。每多一個條件,要計算的數學也就不同了。

關於地區設計的問題還有不少的,比如無障礙通道的設計,或者是簷篷的設計之類。如何鋪設一條最短的無障礙通道,去連通一個社區不同部分?怎樣在社區中加添一點簷篷,令到屋苑的人們都可以在下雨時不用撐傘去到車站?這些問題,若是平日逛街時多點留意的話,也是有趣味的。 ■張志基

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