看着日曆，小時候有時會問起，若果今天是星期三，30天之後會是星期幾。這個不難的，就是先看看30÷7=4...2，得知餘數是2，就知道是星期三下兩天，即星期五。
只是問題再推進一點，比如不是30天，比如30,000天又怎樣？或者天文數字一般大的，2300天之後星期幾，那又怎樣計？
原來這個也不太複雜的。不過在解答之前，先介紹一些符號，方便表達。
這次介紹的課題是同餘，比如兩個數17和10，各自除7的餘數都相等，則稱「17和10對模7同餘」，記為17≡10(mod7)，其中一個特性就是
17n≡10n(mod7)
當中n為正整數。
另外對於17n，有17n≡(2×7+3)n
≡3n(mod7)
這當中暫時略去了其中細緻的數學推論的部分，因為那樣需要的背景知識會比較多，篇幅也會長，暫時只需要知道對於17n這些高次方的數，除以7的餘數，可以先取17除7的餘數，即是3，再取n次，即3n，那就可以了。這樣就有足夠工具去處理原先星期幾的問題了。
問 題
今天是星期三，那樣2300天之後是星期幾？
用剛剛所說同餘的方法，一會兒就找到答案了，算式如下：
2300=(23)100
=8100
=1100(mod7)
=1
原來就是1天之後，即星期四。
同餘好處多 化入日常運算
這個答案的確簡單快捷，是令人驚喜的。原本2300這個大得難以處理的數字，在找餘數的時候，原來可以這麽簡單。雖然初時要學點新的符號，是有點陌生，但之後找餘數，就快了很多倍，這也算是很值得學了。然而這還只是同餘理論的一點皮毛而已。
同餘不單是解一些特定題目的特殊方法，而是觀察整數運算時一個普遍的角度。比方說想檢查一道算式有沒有算錯了，用同餘的角度也可看到。例如觀察以下算式：
194+282=131104
這道算式就是錯的。不是因為真去計算194和282然後加起來所以知道是錯，而是可以通過觀察等式兩邊除以9的餘數得知算式為錯。
194+282≡14+12(mod9)
=2
而右邊則是
131104≡1+3+1+1+0+4(mod9)
=10
=1
這些都是可以心算出來的事，所需時間不用一分鐘，大部分人都可以做得到。
要留意的是，這樣的觀察，並不是說餘數同樣是2的話，就一定計算正確。它只是指出，餘數不相同，答案一定不正確。若果有答案不對而餘數剛好相等的情況，需要另外的測試才能知曉。
這個觀察的角度，就算有限制，也比平常見着運算的數字很大時，對答案對錯毫無認識是好得多。而且能觀察的角度，除了是除以9的餘數，還可以是其他數字，角度是無窮的多，真有大的錯誤，試幾個之後，很難有僥倖的情況。
同餘的其中一個極大的好處是它能化入日常運算，強化了每道整數算式的準確度，對於代數式，也是有極大的洞察力。由於這些好處，因此也是中學奧數中必修的課題。當然競賽相關的問題可以很深很難，但淺近地看，對日常的算術也是有作用的。同餘的用途廣泛，也正是魅力的所在，值得好好去學習一下。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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