在放假的時候，一班同學去宿營，住在宿舍裡，分配房間的時候，當中也有點數學。比如房間有兩種，一種是3人房，一種是4人房，若果每間房都要住滿人，而學生人數共有35人，那麽需要多少間3人房和4人房呢？
不難看出問題是一道方程求解的問題。設3人房有m間，4人房有n間，由題意得
3m+4n=35
其中m和n由於是房間數目，因此是正整數。
這裡要留意的是，未知數有兩個，而方程只有一條。一般而言，一道方程只能解出一個未知數。當一道方程的未知數多於一個，就稱這是一道不定方程。不定方程可以是無解，一個解，多個解或者無限個解，而以上的問題就是有多個解的一類。
不難試出(m,n)=(1,8)是其中一組解。然後4人房少3間，3人房就可以多4間，因此另一組為(m,n)=(5,5)，同理得(m,n)=(9,2)。之後無法再將4人房換3人房，於是答案只有此3組。
回顧剛才的解題過程，就是一開始先試出其中一組解，然後其他的解就可以依次代換出來。一般來說，二元一次的不定方程，也是如此解法。
以下就着另一道不定方程，練習一下剛才的方法。
問題
試求5x+8y=109的正整數解。
答案
觀察奇偶性得知，x為單數。嘗試x=1，得(x,y)=(1,13)為一組解。之後y減少5，則x增加8，因此(x,y)=(9,8)或(17,3)。
故此共有(1,13)、(9,8)、(17,3)3組解。
這裡可能有個疑問，就是開始時試數，會不會試很久也不中呢？這個是有方法的，比如可考慮等式兩邊關於8的餘數，那麽5x的餘數就要等於109除以8的餘數，即是5。考慮餘數後數字一般不太複雜，要試出來是挺快的。
又或者會問，那麽是不是一定有解，會不會有些數字配搭會無解呢？也是有的，比如9x+6y=28。只要觀察到等式左邊是3的倍數，而右邊不是，就知道這是無解的。
一般來說，對於不定方程ax+by=c，a和b的最大公因數為d，而d能整除c的話，這方程就有解，否則就無解。若果有一組解(x0,y0)，則全部解為
其中t為整數。
二元一次屬基本
一講到一些數學的普遍形式，看着那麽多符號，還真挺嚇人的。其實具體怎樣解，之前都講完了，就是先試出一組解，然後其中一個未知數增大一點，另外那個減少一點，一直幹下去，就能找到全部。明白了這個想法，再看代數的形式，也會多點頭緒。
二元一次不定方程，在不定方程的課題中，差不多是最基本的形式，是奧數和初等數論的必修課題。不定方程之中，若是未知數是較高次的，即使是兩三次，就已經可以很難解。當中的理論和技巧都是夠鑽研許多年的事情，奧數之中只能算是淺嘗一下。 ■張志基
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