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【奧數揭秘】花園染色探組合數學

2017-10-04

坐巴士的時候,看看街上的風景,也會看到路旁不時都種茪@些花草。當中有些是有幾種花草放在一起種的,那樣看來就多點變化。

也有些公園,中央是一個噴水池,4邊都是不同的花,各自分成一個個區域,相鄰的都是不同的種類。這當中也可以提出一個組合數學的問題。

問 題

公園的中央的噴水池四周分成A、B、C和D 4區,每一區只可以種植一種顏色的花,而且相鄰的區域不能種植相同顏色的花。現在有紅花、藍花和黃花3種,問種植的方式有多少種(圖一)?

答案

先把A和C看成一組,考慮它們顏色相同和不同的情況。

若兩者同為紅色,則B和D各自可選擇藍黃兩種顏色,B和D共有2×2=4種選擇。若A和C是藍色或黃色,情況一樣,因此A和C同色的情況共有4×3=12種。

若A和C不同色,假設是紅和藍,則B和D皆是黃色。而A和C除了紅和藍以外,還有紅黃、藍黃、藍紅、黃紅和黃藍共6種情況。

因此總數為12+6=18種。

用圖論解題 拓闊數學視野

這個問題中花的數目不多,區域數也少,即使列舉出來數量也不多。若是區域多一點,方法若是由A開始數,不斷分類的話,也挺麻煩的。這裡把A和C看成一組,按茼P色與否來分類,就比較簡單,至少花的顏色多幾種的話,計算的方法也差不多。

問題當中,噴水池在中央,四周都是花,不過在解題的過程中,會知道其實中間的噴水池是沒什洎垠n性的,留空也可以。不妨嘗試用另一些更簡單的圖,來表示這個問題(圖二)。

圖中,原來的A區變成了一點,其他也類似,也把與計算不相關的噴水池刪去了。

這個圖當中,A和D由一條線連在一起,這些線只代表相鄰的關係,線段長度多少,在這情景中是不用考慮的。這種由點和線組成的圖,在數學中是有個分支專門研究的,叫圖論。而問題中把相鄰點染色的問題,是圖論中的染色問題,也是一個專門。

染色的問題中,有一個非常知名的問題,叫「四色問題」,就是把地圖上的不同區域染色,並要求相鄰的區域不同色,那洛u需要4種顏色就夠了。這個問題聽來易理解,不過是近幾十年才解決得了的。

對數學史有興趣的讀者,可以網上找四色定理相關的條目看看。

就茩鴠貌滌暋D看,化成了後來的圖二,計算方法並沒什洶j分別,彷彿是多此一舉的。只是圖論本身是數學的分支,若是在問題的表達方式上,用上了圖論的方式,那炳擘s起來時,既有的工具也多一點,作深入探究時,也可以用已有的定理得到又深遠的結果。

奧數有不少問題,其實是一些數學分支的特殊例子,用意在於讓學生能見識一下部分數學分支的問題和表達形式,擴闊學生的視野,令到學生知道數學並不只有算式和幾何圖形。學生眼界闊了,思想豐富了,就可以有更大的興趣去作進一步的鑽研,在數學上走得更遠。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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