量度間尺愈精細 測海岸線愈來愈長？
在日常生活中，如果我們要提及一個很大很大的數值，可能會半開玩笑地說：「無限咁大！」今天就跟大家討論一下「無限」這個古怪的概念，再和大家分享一些相關的科學例子。
「無限」並不是一個數值
大家要留意的是，其實「無限」並非如「700萬」、「12億」等等是一個實質的數字。筆者的朋友曾經遇上一個「詭辯」：大家都應該有在數學課裡學過「數線」。試想像在一條數線上記下「無限」的位置。
不過，「無限」也就是「無窮無盡」，當然「無限除以二、除以三、除以四，還是無限」，因此數線上不應只有一點代表「無限」，而應有許許多多的「無限」。如果你覺得這個結論很古怪，那麼你還是正常得很：「無限」本身只是一個代表「很大數值」的概念，並不是一個實際的數字，因此本來就不會在數線上找到它。要不然在製作統計圖時在數線上冷不防遇上了「無限」，大家可能都不知道如何表達數據了。
「無限」指出耐人尋味之處
既然「無限」並非一個數字，那麼倘若我們在科學探究中遇到它，理論可能就有需要特別留意的地方了。20世紀初的英國科學家理察臣（Lewis Fry Richardson）在嘗試確定國家海岸線長度的時候，發現這個數據眾說紛紜，沒有一個統一的答案；再者，他發現如果用來量度海岸線的單位愈微小（這就好比用來量度的間尺愈精細），所得到的海岸線就會愈長。更令人驚駭的是，隨着用來量度的單位愈來愈小，所得到的海岸線並不會趨向一個特定的數值，反而會無上限般愈來愈大（也就是「趨向無限」）。
建基於這個現象，數學家曼德博（Benoit Mandelbrot）發展了一門新的幾何學分支：分形（fractal）學。以圓形這個傳統的幾何形狀為例。雖然從遠處觀看它是一個圓形，但是當我們從近處仔細察看它的一部分，看起來可能只像一條直線（可不要忘記，在日常生活中，球形的地球對我們來說也只像一個平面！）；分形卻與別不同：不論是遠觀還是近看，一個分形看起來也是一樣。雪花、貝殼、海岸線的形狀，就是在大自然中找到的分形的好例子。
海岸線曲曲折折，呈分形形狀，也就是說當我們愈仔細察看，愈會發現更多的細節；因此當我們使用愈精細的間尺去量度海岸線的長度，就會發現要包括愈多的細節，所量度到的海岸線自然愈長了。
「無限」提示理論不足之處
科研中遇到的「無限」，也有可能在提醒我們需要修正現有的理論。19世紀的科學家在研究有溫度的物件發放出多少輻射的時候，就曾遇上這樣的問題。有溫度的物件能夠發出不同頻率的輻射；而熱力學告訴我們，每個頻率的輻射所攜帶的能量是一樣的。
然而，從一盞電燈發放出來的輻射，它的頻率好像並沒有什麼上限（也就是說好像並沒有什麼機制禁止這些高頻率輻射）。輻射的頻率無上限，而每個頻率的能量都一樣，不就是在說從物件放出的總能量是無限嗎？德國科學家普朗克（Max Planck）其後提出了解決這個疑難的方法，為後來的量子力學奠定了重要的基礎。■張文彥博士
作者簡介：香港大學土木及結構工程學士。短暫任職見習土木工程師後，決定追隨對科學的興趣，在加拿大多倫多大學取得理學士及哲學博士學位，修讀理論粒子物理。現任香港大學理學院講師，教授基礎科學及通識課程，不時參與科學普及與知識交流活動。
逢星期三見報