三角形經常出現在幾何題目中，而內角的角平分線，也是經常會添加的線段，有時會用作輔助線。關於角平分線，有一道相關定理，稱為角平分線定理，這在課程內沒有特別提及，即使出現，多數也只是其中一道習題。不過用起來挺好用，值得談談。
在介紹定理前，先分享一道相關題目。
問 題
在△ABC中，D是BC上的一點，使得AD平分∠BAC。若AC=2、BD=2而DC=1，求cos∠ABC。
答 案
設∠BAD=∠CAD=x，∠ADB=y，則∠ADC=180o-y。
對△ABD考慮正弦定理，得[AB][sin y] [BD][sin x] [=]，因此[AB][sin y] [BD][sin x] [=]。
再對△ACD考慮正弦定理，同理得[AC][sin(180o-y)] [CD][sin x] [=]。
由於sin y=sin(180o-y)，因此[AB] [BD][=][AC] [CD]。
從而AB=[2] [1]×2=4。再對△ABC考慮餘弦定理，得cos∠ABC=[42+32-22] [2×4×3]=[7] [8]。
以上的答案中，一開始時沒有考慮長度問題，只應用了角平分線的條件。事實上，若BC上有D點，使得AD平分∠BAC，則[AB] [BD][=][AC] [CD]，這便是角平分線定理了。在答案中，這個等式之前的部分，就是定理的證明。之後求題目要求的角度，也只是一些定理的簡單應用。
這條定理雖簡單，但突然在奧數書看到相關題目，也是有點困惑。因為香港數學課程沒有特別教授這定理，學生解題時難免覺得疑惑。
角平分線定理，看來條件極少，三角形是任意的，就只是一條內角平分線，就已經有相關的線段比例關係。這是一條能廣泛應用的定理，值得學習。
剛才分享的題目，是否很簡單呢？其實它是2008年國際數學奧林匹克香港區選拔賽的一條題目，這道題算是其中較為簡單的一題。這個層次的競賽，對中學生來說，已經很困難。當然更上一層就是解題時，要詳細步驟的國際賽事，那些都是一題要做一兩小時。
這裡較少介紹一兩小時一題的題目，原因也是很簡單，因為要做到那些題目，或能了解相關答案，讀者本身需相當熟悉奧數。
這欄目主要以揭秘為主，對象是對奧數比較陌生的讀者，因此主要挑選較淺白的題目，讓初階讀者能一窺奧數世界。
若有讀者覺得這裡的題目不夠挑戰性，能在書局找到不少奧數書，也能在網上找到一些極難的題目，比如網頁就有Art of Problem Solving，提供高階題目。奧數的難，除了是解題的困難，也在於入門困難。
單是發現一堆自己想不通的題目，其實未必學到什麼。相反，若是有人帶路，可以由淺入深地了解各式各樣的知識和技巧，那樣才會少走冤枉路。
奧數比賽往往只提出一些困難的問題，而奧數培訓則是鋪排路徑，幫人找到合適的路，這也是奧數比賽與培訓的分別之一。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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