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【奧數揭秘】統籌問題

2018-11-28

統籌問題就是在一些情景之中,例如要安排時間和金錢的分配時,尋找最佳方案的問題。相關的問題可以很複雜,但奧數裡也會有些簡單的情況,令學生略為體驗一下。

問 題

電車工場有7輛電車需要維修,修復時間分別為12、23、30、14、17、8和18分鐘。現有3名工作效率相同的維修工人在工場內各自單獨工作,維修工場每啟動1分鐘就耗損燃油費15元。工場最少耗損燃油費多少元?

答 案

由於維修工場啟動就要耗損燃油費,那麼每位工人維修電車的時間,越平均越好。考慮(12+23+30+14+17+8+18)÷3=40 [2][3] ,因此至少要41分鐘。不過留意到當中有修復時間30分鐘的電車,必要配上另外的電車,使得總和為41,但經試算30+8=38和30+12=42之後,就看到41是不可能的。

不過剛才試過30+12=42,也許42就可能了。再看看其餘的,就不難看到23+17=40,14+8+18=40,因此確認42為最少的總修復時間,故此得燃油費為42×15=630元。

這一題的趣味在於,若是缺乏估算的一步,單是把7個數分組加起來,選擇也還真夠多。即使試茪F一個很少的總維修時間,也難以確定它是最少的。不過若是先不管它怎樣分組,先加起來,再估算下限,由41分鐘開始,逐一討論,那就確定了答案。

小學階段做這些題目,學生往往試到了答案,就覺得可以了,這當然是馬虎的做法。在教學的過程中,不斷要提醒學生必須要學會找尋確切的理據,明白為什麼42分鐘是最少的總修復時間。這當中的論證過程,也是學習中重要的一步。過程中學生由模糊的試算,變得學會欣賞論證的那種確定性,這也是學數學的過程中重要的體驗之一。

剛才的題目裡,需要的數學知識是極少的,說到底就只是四則運算而已,但做起來並沒什洶茞L易的感覺。統籌問題就是這樣子的,答案看來可能只是幾個數加起來,做點算術,但難題就是在於為什麼要做那幾條算術。

這類統籌問題,在數學裡是運籌學的範疇。通常運籌學討論的都是普遍情況,而中小學裡的奧數題,就有一些簡化的情況或特殊例子,刺激同學思考,從而推導出更普遍的問題,及作出更深一層的探究。運籌學是偏向於應用數學的,由於牽涉頗多計算步驟,而奧數裡不用計算機,因此難以深入了解運籌學當中的細節。

運籌學在大學裡當然是有課程的,聽來比較遙遠,不過在奧數裡,多年來一些有心的老師,把知識帶到中小學之中,令中小學生都能領略到當中的智慧和樂趣,是很難得的事。這也是奧數值得學習的原因之一。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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